微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

微考点2-5 2024新高考新试卷结构19题压轴题新定义 导数试题分类汇编 【精选例题】 【例1】悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求的最小值． 【例2】已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． (1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； (2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； (3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围． 【例3】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注： (1)求实数，的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中． 【例4】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【例5】“让式子丢掉次数”：伯努利不等式 伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明 【例6】梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时； ①证明有唯一极值点；   ②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论． 【例7】定义函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围； (3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由． （注：…是自然对数的底数） 【例8】如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积． (1)若，且，求； (2)已知，证明：，并解释其几何意义； (3)证明：，． 【例9】对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点. (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数. 【跟踪训练】 1．已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”． (1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由； (2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解； (3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由． 2．利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式. (1)若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）； (2)若，，，，求证：. 3．多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数）， (1)写出和的表达式； (2)已知方程有两实根，. ①求出的取值范围； ②证明，并写出随的变化趋势. 4．设函数，. (1)①当时，证明：； ②当时，求的值域；