专项复习 一、 与抛物线有关的综合题-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（人教版）

专 项 复 习 一、 与抛物线有关的综合题 （一） 抛物线与等腰三角形、 菱形 知识准备 1. 已知 P 1 ， P 2 两点的坐标分别为 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）， 线段 P 1 P 2 的中点 P 的坐 标为 P x 1 +x 2 2 2 ， y 1 +y 2 2 2 . 2. 已知 P 1 ， P 2 两点的坐标分别为 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）， 线段 P 1 P 2 的长为 （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 . 3. 找等腰三角形的方法有两种： （ 1 ） 已知 A ， B 是平面内两个定点， 点 P 是直线 l 上一点， △PAB 是等腰三角形， 确定 点 P 的位置 . 方法： 分别以 A ， B 为圆心， AB 为半径作圆交 l 的点， 作线段 AB 的垂直平分 线交 l 的点， 都是点 P 的位置 . （ 2 ） 已知 △PAB 是等腰三角形， 确定点 P 的位置 . 方法： 可以先用一个未知数表示线段 PA ， PB ， AB 的长度， 然后分三种情况： PA=PB ， PA=AB ， PB=AB 讨论 . 例题解析 【例题】 如图， 已知抛物线 y=- 1 4 x 2 +bx+4 与 x 轴交于 A ， B 两点， 与 y 轴交于点 C ， 若 已知点 A 的坐标为 （ -2 ， 0 ） . （ 1 ） 求抛物线的解析式及它的对称轴方程 . （ 2 ） 求点 C 的坐标， 连接 AC ， BC ， 并求线段 BC 所在直线的解析式 . （ 3 ） 试判断 △AOC 与 △COB 是否相似， 并说明理由 . 专 项 复 习 x y O Q A B C 例题图 71 九年级下册 （人教版）数学 （ 4 ） 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ， 使 △ACQ 为等腰三角形？ 若存在， 求出符合条 件的 Q 点坐标； 若不存在， 请说明理由 . 【解】 （ 1 ） ∵ 抛物线 y=- 1 4 x 2 +bx+4 的图象经过点 A （ -2 ， 0 ）， ∴- 1 4 × （ -2 ） 2 +b× （ -2 ） +4=0 ， 解得 b= 3 2 . ∴ 抛物线的解析式为 y=- 1 4 x 2 + 3 2 x+4. 又 ∵y=- 1 4 x 2 + 3 2 x+4=- 1 4 （ x-3 ） 2 + 25 4 ， ∴ 对称轴方程为 x=3. （ 2 ） 在 y=- 1 4 x 2 + 3 2 x+4 中， 令 x=0 ， 得 y=4 ， ∴C （ 0 ， 4 ） . 令 y=0 ， 即 - 1 4 x 2 + 3 2 x+4=0 ， 整理得 x 2 -6x-16=0 ， 解得 x=8 或 x=-2 ， ∴A （ -2 ， 0 ）， B （ 8 ， 0 ） . 设直线 BC 的解析式为 y=kx+d ， 把 B （ 8 ， 0 ）， C （ 0 ， 4 ） 的坐标分 别代入解析式， 得 8k+d=0 ， d=4 4 ， 解得 k=- 1 2 ， d=4 4 % % % % $ % % % % & ， ∴ 直线 BC 的解析式为 y=- 1 2 x+4. （ 3 ） 可判定 △AOC∽△COB 成立 . 理由如下： 在 △AOC 与 △COB 中， ∵OA=2 ， OC=4 ， OB=8 ， ∴ OA OC = OC OB . 又 ∵∠AOC=∠BOC=90° ， ∴△AOC∽△COB. （ 4 ） ∵ 抛物线的对称轴方程为 x=3 ， 可设点 Q （ 3 ， t ）， 则可求得： AC= 2 2 +4 2 姨 = 20 姨 =2 5 姨 ， AQ= 5 2 +t 2 姨 = 25+t 2 姨 ， CQ= 3 2 + （ t-4 ） 2 姨 = （ t-4 ） 2 +9 姨 . ① 当 AQ=CQ 时， 有 25+t 2 姨 = （ t-4 ） 2 +9 姨 ， 25+t 2 =t 2 -8t+16+9 ， 解得 t=0 ， ∴Q 1 （ 3 ， 0 ）； ② 当 AC=AQ 时， 有 2 5 姨 = 25+t 2 姨 ， t 2 =-5 ， 此方程无实数根， ∴ 此时 △ACQ 不能构成等腰三角形； ③ 当 AC=CQ 时， 有 2 5 姨 = （ t-4 ） 2 +9 姨 ， 整理得 t 2 -8t+5=0 ， 解得 t=4± 11 姨 ， ∴ 点 Q 的坐标为 Q 2 （ 3 ， 4+ 11 姨 ）， Q 3 （ 3 ， 4- 11 姨 ） . 综上所述， 存在点 Q ， 使 △ACQ 为等腰三角形， 点 Q 的坐标为 Q 1 （ 3 ， 0 ）， Q 2 （ 3 ， 4+ 11 姨