专题13 综合与实践-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（北师大版）

1. 综合与实践课上， 老师让同学们以 “矩形的折叠” 为主题开展数学活动 ． （ 1 ） 操作判断 操作一： 对折矩形纸片 ABCD ， 使 AD 与 BC 重合， 得到折痕 EF ， 把纸片展平； 操作二： 在 AD 上选一点 P ， 沿 BP 折叠， 使点 A 落在矩形内部点 M 处， 把纸片展平， 连接 PM ， BM． 根据以上操作， 当点 M 在 EF 上时， 写出图 1 中一个 30° 的角： （任写一个 即可） ． （ 2 ） 迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片， 继续探究， 过程如下： 将正方形纸片 ABCD 按照 （ 1 ） 中的方式操作， 并延长 PM 交 CD 于点 Q ， 连接 BQ． ① 如图 2 ， 当点 M 在 EF 上时， ∠MBQ= ° ， ∠CBQ= ° ； ② 改变点 P 在 AD 上的位置 （点 P 不与点 A ， D 重合）， 如图 3 ， 判断 ∠MBQ 与 ∠CBQ 的数量关系， 并说明理由 ． （ 3 ） 拓展应用 在 （ 2 ） 的探究中， 已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8 ， 当 FQ=1 时， 求出 AP 的长 ． 专题 13 综合与实践 A B C D E F P Q M A B C D E F P Q M A B C D E F P M 图 3 图 2图 1 第 1 题图 综合与实践 专题 13 165 九年级下册 （北师大版）数学 2. 【经典回顾】 梅文鼎是我国清初著名的数学家， 他在 《勾股举隅》 中给出多种证明勾股定理的方法 ． 图 1 是其中一种方法的示意图及部分辅助线 ． 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， 四边形 ADEB ， ACHI 和 BFGC 分别是以 Rt△ABC 的 三边为一边的正方形 ． 延长 IH 和 FG ， 交于点 L ， 连接 LC 并延长交 DE 于点 J ， 交 AB 于点 K ， 延长 DA 交 IL 于点 M． （ 1 ） 证明： AD=LC ； （ 2 ） 证明： 正方形 ACHI 的面积等于四边形 ACLM 的面积； （ 3 ） 请利用 （ 2 ） 中的结论证明勾股定理 ． 【迁移拓展】 （ 4 ） 如图 2 ， 四边形 ACHI 和 BFGC 分别是以 △ABC 的两边为一边的平行四边形， 探索 在 AB 下方是否存在平行四边形 ADEB ， 使得该平行四边形的面积等于平行四边形 ACHI ， BFGC 的面积之和？ 若存在， 作出满足条件的平行四边形 ADEB （保留适当的作图痕迹）； 若 不存在， 请说明理由 ． 图 2图 1 第 2 题图 A B C I F H G A B C D E F G H I L M K J 166 3. 【问题提出】 （ 1 ） 如图 1 ， AD 是等边 △ABC 的中线， 点 P 在 AD 的延长线上， 且 AP=AC ， 则 ∠APC 的度数为 ． 【问题探究】 （ 2 ） 如图 2 ， 在 △ABC 中， CA=CB=6 ， ∠C=120°． 过点 A 作 AP∥BC ， 且 AP=BC ， 过点 P 作直线 l⊥BC ， 分别交 AB ， BC 于点 O ， E ， 求四边形 OECA 的面积 ． 【问题解决】 （ 3 ） 如图 3 ， 现有一块 △ABC 型板材， ∠ACB 为钝角， ∠BAC=45°． 工人师傅想用这块 板材裁出一个 △ABP 型部件， 并要求 ∠BAP=15° ， AP=AC． 工人师傅在这块板材上的作法 如下： ① 以点 C 为圆心， 以 CA 长为半径画弧， 交 AB 于点 D ， 连接 CD ； ② 作 CD 的垂直平分线 l ， 与 CD 交于点 E ； ③ 以点 A 为圆心， 以 AC 长为半径画弧， 交直线 l 于点 P ， 连接 AP ， BP ， 得 △ABP． 请问： 若按上述作法， 裁得的 △ABP 型部件是否符合要求？ 请证明你的结论 ． 图 2图 1 第 3 题图 图 3 P B C D A A B C O E P l A B C D E P l 综合与实践 专题 13 167 九年级下册 （北师大版）数学 4. 【发现规律】 （ 1 ） 如图 1 ， △ABC 与 △ADE 都是等边三角形， 直线 BD ， CE 交于点 F ， 直线 BD ， AC 交于点 H． 求 ∠BFC 的度数 ． （ 2 ） 已知： △ABC 与 △ADE 的位置如图 2 所示， 直线 BD ， CE 交于点 F ， 直线 BD ， AC 交于点 H． 若 ∠ABC＝∠ADE＝α ， ∠ACB＝∠AED＝β ， 求 ∠BFC 的度数 ． 【应用结论】 （ 3 ） 如图 3 ， 在平面直角坐标系中， 点 O 的坐标为 （ 0 ， 0 ）， 点 M 的坐标为 （ 3 ， 0 ）， N 为 y 轴上一动点， 连接 MN． 将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转 60° 得到线段 MK ， 连接 NK ， OK． 求线段 OK 长度的最小值 ． 图 2图 1 第 4 题图 图 3 A B C D E F H A B C D E F H x y M N O K 168 5. 【特例感知】 （ 1 ） 如图 1 ， △AOB 和 △COD 是等腰直角三角形， ∠AOB=∠COD=90° ， 点 C 在 OA 上， 点 D 在 BO 的延长线上， 连接 AD ， BC ， 线段 AD 与 BC 的数量关系是 . 【类比迁移】 （ 2 ） 如图 2 ， 将图 1 中的 △COD 绕点 O 顺时针旋转 α （ 0°＜α＜90° ）， 那么 （ 1 ） 中的结论 是否仍然成立？ 如果成立， 证明你的结论； 如果不成立， 请说明理由 . 【方法运用】 （ 3 ） 如图 3 ， 若 AB=8 ， 点 C 是线段 AB 外一动点， AC=3 3 姨 ， 连接 BC． ① 若将 CB 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到 CD ， 连接 AD ， 求 AD 的最大值； ② 若以 BC 为斜边在 AB 的下方作 Rt△BCD （ B ， C ， D 三点按顺时针排列）， ∠CDB= 90° ， 连接 AD ， 当 ∠CBD=∠DAB=30° 时， 求 AD 的值 ． 图 2图 1 第 5 题图 图 3 A B C D O A B C D O A B C 综合与实践 专题 13 169 九年级下册 （北师大版）数学 6. 我们知道， 四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形， 如果这两个三角形 相似 （不全等）， 我们就把这条对角线称为这个四边形的 “相似对角线” ． （ 1 ） 如图 1 ， 已知 Rt△ABC 在正方形网格中， 请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D ， 使四边形 ABCD 是以 AC 为 “相似对角线” 的四边形 （保留画图痕迹， 找出 3 个即可） . （ 2 ） 如图 2 ， 在四边形 ABCD 中， ∠ABC=80° ， ∠ADC=140° ， 对角线 BD 平分 ∠ABC． 求 证： BD 是四边形 ABCD 的 “相似对角线” . （ 3 ） 如图 3 ， 已知 FH 是四边形 EFGH 的 “相似对角线”， ∠EFH=∠HFG=30° ， 连接 EG ， 若 △EFG 的面积为 2 3 姨 ， 求 FH 的长 ． 7. 定义： 有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形， 这两个角的夹边称为邻余线 ． （ 1 ） 如图 1 ， 在 △ABC 中， AB＝AC ， AD 是 △ABC 的角平分线， E ， F 分别是 BD ， AD 上 的点 ． 求证： 四边形 ABEF 是邻余四边形 ． （ 2 ） 如图 2 ， 在 5×4 的方格纸中， A ， B 在格点上， 请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF ， 使 AB 是邻余线， E ， F 在格点上 ． （ 3 ） 如图 3 ， 在 （ 1 ） 的条件下， 取 EF 的中点 M ， 连接 DM 并延长交 AB 于点 Q ， 延长 EF 交 AC 于点 N． 若 N 为 AC 的中点， DE＝2BE ， QB＝3 ， 求邻余线 AB 的长 ． 图 2图 1 第 6 题图 图 3 图 2图 1 第 7 题图 图 3 A B C A B C D E F G H A B C D E F A B C D E F Q M N A B 170 8. 定义： 若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点， 并且都在坐标轴上， 则称二 次函数为一次函数的轴点函数 ． 【初步理解】 （ 1 ） 现有函数： ①y＝x 2 -1 ； ②y＝x 2 -x. 其中 是函数 y＝x-1 的轴点函数 ． （填序号 即可） 【尝试应用】 （ 2 ） 函数 y＝x+c （ c 为常数， c＞0 ） 的图象与 x 轴交于点 A ， 其轴点函数 y＝ax 2 +bx+c 与 x 轴的另一交点为点 B． 若 OB＝ 1 4 OA ， 求 b 的值 ． 【拓展延伸】 （ 3 ） 如图， 函数 y＝ 1 2 x+t （ t 为常数， t＞0 ） 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 M ， C 两点， 在 x 轴的正半轴上取一点 N ， 使得 ON＝OC． 以线段 MN 的长度为长、 线段 MO 的长度为宽， 在 x 轴的上方作矩形 MNDE． 若函数 y＝ 1 2 x+t （ t 为常数， t＞0 ） 的轴点函数 y＝mx 2 +nx+t 的顶点 P 在矩形 MNDE 的边上， 求 n 的值 ． x y C D E M O N 第 8 题图 综合与实践 专题 13 171 九年级下册 （北师大版）数学 9. 在平面直角坐标系中， 设计了点的两种移动方式： 从点 （ x ， y ） 移动到点 （ x+2 ， y+1 ） 称为一次甲方式； 从点 （ x ， y ） 移动到点 （ x+1 ， y+2 ） 称为一次乙方式 ． 例如， 点 P 从原点 O 出发连续移动 2 次： 若都按甲方式， 最终移动到点 M （ 4 ， 2 ）； 若都 按乙方式， 最终移动到点 N （ 2 ， 4 ）； 若按 1 次甲方式和 1 次乙方式， 最终移动到点 E （ 3 ， 3 ） ． （ 1 ） 设直线 l 1 经过上例中的点 M ， N ， 求 l 1 的表达式， 并直接写出将 l 1 向上平移 9 个单 位长度得到的直线 l 2 的表达式 . （ 2 ） 点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次， 每次移动按甲方式或乙方式， 最终移动到点 Q （ x ， y ） ． 其中， 按甲方式移动了 m 次 ． ① 用含 m 的式子分别表示 x ， y ； ② 请说明无论 m 怎样变化， 点 Q 都在一条确定的直线上 ． 设这条直线为 l 3 ， 在图中画出 l 3 的图象 . （ 3 ） 在 （ 1 ） 和 （ 2 ） 中的直线 l 1 ， l 2 ， l 3 上分别有一个动点 A ， B ， C ， 横坐标依次为 a ， b ， c ， 若 A ， B ， C 三点始终在一条直线上， 直接写出此时 a ， b ， c 之间的关系式 ． x y 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 3 303 33242118151296 27 O 第 9 题图 172 参考答案与提示 专题 13 综合与实践 1. 解： （ 1 ） ∠EMB 或 ∠CBM 或 ∠ABP 或 ∠PBM （任写一个即可） （ 2 ） ①15 15 ②∠MBQ=∠CBQ. 理由： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠BAD=∠C=90°. 由折叠性质， 得 BM=AB ， ∠BMP=∠BAD=90° ， ∴BM=BC ， ∠BMQ=∠C=90°. 又 ∵BQ=BQ ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ （ HL ） . ∴∠CBQ=∠MBQ. （ 3 ） 由折叠的性质， 得 CF=DF=4 cm ， PM=AP. 由 （ 2 ） 知， Rt△BCQ≌Rt△BMQ ， ∴CQ=MQ. 当点 Q 在线段 CF 上时 ， ∵FQ=1 ， ∴MQ=CQ=CF-FQ=3 ， DQ=DF+FQ=5. 在 Rt△PDQ 中 ， ∵PQ 2 =PD 2 +DQ 2 ， ∴ （ AP+3 ） 2 = （ 8-AP ） 2 +25. ∴AP= 40 11 . 当点 Q 在线段 DF 上时 ， ∵FQ=1 ， ∴MQ=CQ=5 ， DQ=3. 在 Rt△PDQ 中 ， ∵PQ 2 =PD 2 +DQ 2 ， ∴ （ AP+5 ） 2 = （ 8-AP ） 2 +9. ∴AP= 24 13 . 综上所述， AP= 40 11 或 24 13 . 2. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 连接 HG ， ∵ 四边形 ACHI ， ABED 和 BCGF 是正方形， ∴AC=CH ， BC=CG ， AB=AD ， ∠ACH=∠BCG=∠CHI=∠CGL=90°. ∵∠ACB=90° ， ∴∠GCH=360°-90°-90°-90°=90°. ∴∠GCH=∠ACB. ∴△ACB≌ △HCG （ SAS ） . ∴GH=AB=AD. ∵∠GCH=∠CHI=∠CGL=90° ， ∴ 四边形 CGLH 是矩形 . ∴CL=GH. ∴AD=LC. （ 2 ） 证明： ∵ 四边形 ACHI ， ABED 是正方形， ∴∠I=∠CAI=∠DAB=90°. ∴∠BAM=90°. ∴∠BAC=∠MAI. ∵AC= AI ， ∠ACB=∠I=90° ， ∴△ABC≌△AMI （ ASA ） . 由 （ 1 ） 知 △ACB≌△HCG ， ∴△AIM≌△HGC. ∵ 四边形 CGLH 是 矩形， ∴S △CHG =S △CHL . ∴S △AIM =S △CHL . ∴ 正方形 ACHI 的面积等于四边形 ACLM 的面积 . （ 3 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABED 是正方形 ， ∴AB∥DE. 由 （ 2 ） 知 ， △AMI≌△HGC ， 四边形 CGLH 是矩形 ， ∴△AMI≌△CLH. ∴∠AMI=∠CLH. ∴AD∥LC. ∴ 四边形 ADJK 是平行四边形 . ∵ 四边形 ACHI 是正方形， ∴IH∥AC ， 即 ML∥AC. ∴ 四边形 ACLM 是平行四边形 . 由 （ 1 ） 知 AD=LC ， ∴S 荀ADJK =S 荀ACLM =S 正方形 ACHI . 如图 1 ， 延长 EB 交 LG 于点 Q ， 同理有 S 荀KJEB =S 荀CBQL =S 正方形 BFGC ， ∴S 正方形 ACHI +S 正方形 BFGC =S 荀ADJK +S 荀KJEB =S 正方形 ADEB . ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 . （ 4 ） 解： 如图 2 即为所求作的 荀ADEB. 3. 解： （ 1 ） 75° （ 2 ） 如图 1 ， 连接 PB ， ∵AP∥BC ， AP=BC ， ∴ 四边形 PBCA 为平行四边形 . ∵CA=CB ， ∴ 平行四边形 PBCA 为菱形 . ∴PB=AC=6 ， ∠PBC=180°-∠C=60°. 在 Rt△PBE 中， ∵∠PEB= 90° ， sin∠PBC= PE PB ， cos∠PBC= BE PB ， ∴PE=PB · sin60°=3 3 姨 ， PB · cos60°=BE=3. ∵CA=CB ， ∠C=120° ， ∴∠ABC=30° . 在 Rt△BOE 中 ， OE=BE · tan∠ABC= 3 姨 ， ∴S 四 边 形 OECA =S △ABC - S △OBE = 1 2 ×6×3 3 姨 - 1 2 ×3× 3 姨 = 15 2 3 姨 . x y A B C O Q P x y A B C O P Q D x y A B C O Q P 图 1 图 2 图 3 图 4 第 9 题答图 x y A B C O P Q N P′ M A B C D E F G H I L M K J Q A B C I F H G L D E 图 1 图 2 第 2 题答图 A B C O E P l 图 1 245 九年级下册 （北师大版）数学 （ 3 ） 符合要求 . 理由： 如图 2 ， 过点 A 作 CD 的平行线， 过点 D 作 AC 的平行线， 两条平行线交于点 F ， ∵CA=CD ， ∠DAC=45° ， ∴∠ADC=∠DAC=45°. ∴∠ACD=90°. ∴ 四边形 FDCA 为正方形 . ∴AF=AC. ∵PE 是 CD 的垂直平分线， ∴ 正方形 FDCA 关于直线 l 对称 . ∴PF=PA. ∵AP=AC ， ∴PF=PA=AF. ∴△PAF 为等边三角形 . ∴∠PAF=60°. ∴∠BAP=60°-45°=15°. ∴ 裁得的 △ABP 型部件符合要求 . 4. 解： （ 1 ） ∵△ABC ， △ADE 是等边三角形 ， ∴AB＝AC ， AD＝AE ， ∠BAC＝∠DAE＝ ∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE （ SAS ） . ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠ABD+ ∠FBC＝∠ABC＝60° ， ∴∠ACE+∠FBC＝60°. ∴∠BFC＝180°-∠FBC-∠ACE-∠ACB＝60°. （ 2 ） ∵∠ABC＝∠ADE＝α ， ∠ACB＝∠AED＝β ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC＝∠DAE ， AB AD = AC AE ， ∴∠BAD＝ ∠CAE ， AB AC = AD AE ， ∴△ABD∽△ACE. ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE ， ∴∠BFC＝ ∠BAC. ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180° ， ∴∠BFC+α+β＝180°. ∴∠BFC＝180°-α-β. （ 3 ） ∵ 将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转 60° 得到线段 MK ， ∴MN＝MK ， ∠NMK＝60°. ∴△MNK 是等边三角形 .∴MK＝MN＝NK ， ∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°. 如图， 将 △MOK 绕点 M 顺时针旋转 60° ， 得到 △MQN ， 连接 OQ ， ∴△MOK≌△MQN ， ∠OMQ＝60° . ∴OK＝NQ ， MO＝MQ. ∴△MOQ 是等边三角形 . ∴∠QOM＝60°. ∴∠NOQ＝30°. ∵OK＝NQ ， ∴ 当 NQ 为最小值时， OK 有最小值 . 由垂线段最短可得， 当 QN⊥y 轴时， NQ 有最小值 . 此时， QN⊥y 轴， ∠NOQ＝30° ， ∴NQ＝ 1 2 OQ＝ 3 2 . ∴ 线段 OK 长度的最小值为 3 2 . 5. 解： （ 1 ） AD=BC （ 2 ） AD=BC 仍然成立 . 证明 ： ∵△AOB 和 △COD 是等腰直角三角形 ， ∴OA=OB ， OD=OC ， ∠AOB= ∠COD=90°. ∴∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD=90°+α ， 即 ∠BOC=∠AOD. ∴△AOD≌ △BOC （ SAS ） . ∴AD=BC. （ 3 ） ① 如图 1 ， 过点 A 作 AT⊥AB ， 使 AT=AB ， 连接 BT ， DT ， BD ， ∵△ABT 和 △CBD 都是等腰直角三角形， ∴BT= 2 姨 AB ， BD= 2 姨 BC ， ∠ABT=∠CBD=45°. ∴ BT AB = BD BC = 2 姨 ， ∠ABC=∠TBD. ∴△ABC∽△TBD. ∴ DT AC = BT AB = 2 姨 . ∴DT= 2 姨 AC= 2 姨 ×3 3 姨 =3 6 姨 . ∵AT=AB=8 ， DT=3 6 姨 ， ∴ 点 D 的运动路径是以 T 为圆 心、 3 6 姨 为半径的圆 . ∴ 当 D 在 AT 的延长线上时， AD 的值最大， 最大值为 8+3 6 姨 . ② 如图 2 ， 在 AB 上方作 ∠ABE=30° ， 过点 A 作 AE⊥BE 于点 E ， 连接 DE ， 则 BE AB = BD BC =cos30°= 3 姨 2 . ∵∠EBD=∠ABC=∠ABD+30° ， ∴△BDE∽△BCA. ∴ DE AC = BE AB = 3 姨 2 . ∴DE= 3 姨 2 AC= 3 姨 2 ×3 3 姨 = 9 2 . ∵∠BAE=90°-30°=60° ， AE=AB · sin30° =8 × 1 2 =4 ， ∴∠DAE =∠DAB +∠BAE =30° +60° =90° . ∴AD = DE 2 -AE 2 姨 = 9 2 2 * 2 -4 2 姨 = 17 姨 2 . 6. （ 1 ） 解： 由图 1 知， AB= 5 姨 ， BC=2 5 姨 ， ∠ABC=90° ， AC=5 ， ∵ 四 边形 ABCD 是以 AC 为 “相似对角线” 的四边形 . ① 当 ∠ACD=90° 时， △ACD∽△ABC 或 △ACD∽△CBA ， ∴ AC CD = AB BC = 1 2 或 AC CD = BC AB =2. ∴CD=10 或 CD=2.5. 同理， 当 ∠CAD=90° 时， AD=2.5 或 AD=10. 如 图 1 ， D 1 ， D 2 ， D 3 ， D 4 即为所求 . （ 2 ） 证明 ： ∵∠ABC=80° ， BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC=40° . ∴∠A+∠ADB=140° . ∵∠ADC=140° ， ∴∠BDC+∠ADB=140°. ∴∠A=∠BDC. ∴△ABD∽△DBC. ∴BD 是四边形 ABCD 的 “相似对角线” . A B C D E P l F 图 2 第 3 题答图 x y M N O K Q N′ （ N ） 第 4 题答图 A B C D T E A B D C 30° 30° 30° 图 1 图 2 第 5 题答图 图 1 B A C D 1 D 2 D 3 D 4 246 参考答案与提示 （ 3 ） 解： ∵FH 是四边形 EFGH 的 “相似对角线”， ∠EFH=∠HFG ， ∴△FEH∽△FHG. ∴ FE FH = FH FG . ∴FH 2 =FE · FG. 如图 2 ， 过点 E 作 EQ⊥FG 于点 Q ， ∴EQ=FE · sin60°= 3 姨 2 FE. ∵ 1 2 FG · EQ=2 3 姨 ， ∴ 1 2 FG× 3 姨 2 FE=2 3 姨 . ∴FG · FE=8. ∴FH 2 =FE · FG=8. ∴FH=2 2 姨 . 7. （ 1 ） 证明： ∵AB＝AC ， AD 是 △ABC 的角平分线， ∴AD⊥BC ， ∴∠ADB＝90° ， ∴∠DAB+ ∠DBA＝90°. ∴∠FAB 与 ∠EBA 互余， ∴ 四边形 ABEF 是邻余四边形 . （ 2 ） 解： 答案不唯一， 如图所示， 四边形 AFEB 即为所求 . （ 3 ） 解： ∵AB＝AC ， AD 是 △ABC 的角平分线， ∴BD＝CD. ∵DE＝2BE ， ∴BD＝CD＝3BE. ∴CE＝CD+DE＝5BE. ∵∠EDF＝90° ， 点 M 是 EF 的中点， ∴DM＝ME. ∴∠MDE＝∠MED. ∵AB＝ AC ， ∴∠B＝∠C. ∴△DBQ∽△ECN. ∴ QB NC = BD CE = 3 5 . ∵QB＝3 ， ∴NC＝5. ∵AN＝CN ， ∴AC＝ 2CN＝10. ∴AB＝AC＝10. 8. 解： （ 1 ） ① （ 2 ） 令 y＝0 ， 得 x+c＝0 ， 解得 x＝-c. ∴A （ -c ， 0 ） . 令 x＝0 ， 得 y＝c. ∴ 函数 y＝x+c （ c 为常数， c＞0 ） 的图象与 y 轴交于点 （ 0 ， c ） . ∵ 其轴点函数 y＝ax 2 +bx+c 经过点 A （ -c ， 0 ）， ∴ac 2 -bc+c＝0 ， 且 c＞0. ∴ac-b+1＝0 ， 即 b＝ac+1. ∴y＝ ax 2 + （ ac+1 ） x+c. 设 B （ x′ ， 0 ）， 解得 x′ 1 ＝-c ， x′ 2 ＝- 1 a . ∴B - 1 a ， ， ( 0 . ∴OB＝ 1 a ， OA＝c. ∵OB＝ 1 4 OA ， ∴ 1 a ＝ 1 4 c. ∴ac＝±4. ∴b＝5 或 b=-3. （ 3 ） 由题意， 得 M （ -2t ， 0 ）， C （ 0 ， t ）， N （ t ， 0 ） . ∵ 四边形 MNDE 是矩形， ME＝OM＝2t ， ∴D （ t ， 2t ）， E （ -2t ， 2t ） . 当 m＞0 时， 轴点函数 y＝mx 2 +nx+t 的顶点 P 与点 M 重合， 即 P （ -2t ， 0 ）， 如图 1 ， ∴ n 2 -4mt=0 ， - n 2m =-2t t . ∴n 2 -n＝0 ， 且 n≠0. ∴n＝1. 当 m＜0 时， 轴点函数 y＝mx 2 +nx+t 的顶点 P 在 DE 边上， 即 P （ x ， 2t ）， 如图 2 ， ∴ 4mt 2 -2nt+t=0 ， 4mt-n 2 4m =2t t . 消去 m ， t ， 得 n 2 +2n-1＝0. 解得 n 1 ＝ 2 姨 -1 ， n 2 ＝- 2 姨 -1. ∵ 函数 y＝mx 2 +nx+t 的对称轴在 y 轴左侧， ∴n 与 m 同号， 即 n＜ 0. ∴n＝- 2 姨 -1. 综上所述， n 的值为 1 或 - 2 姨 -1. 9. 解： （ 1 ） 设 l 1 的表达式为 y＝kx+b ， 由题意可得 4k+b=2 ， 2k+b=4 t . 解得 k=-1 ， b=6 t . ∴l 1 的表达式为 y＝-x+6. 将 l 1 向上平 移 9 个单位长度得到的直线 l 2 的表达式为 y＝-x+15. （ 2 ） ①∵ 点 P 按照甲方式移动了 m 次， 点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次， ∴ 点 P 按照乙方式移动了 （ 10- m ） 次 . ∴ 点 P 按照甲方式移动 m 次后得到的点的坐标为 （ 2m ， m ） . ∴ 点 （ 2m ， m ） 按照乙方式移动 （ 10-m ） 次后 得到的点的横坐标为 2m+10-m＝m+10 ， 纵坐标为 m+2 （ 10-m ） ＝20-m. ∴x＝m+10 ， y＝20-m. ②∵x+y＝m+10+20-m＝30 ， ∴ 直线 l 3 的表达式为 y＝-x+30 ， 函数图象略 . （ 3 ） ∵ 点 A ， B ， C 的横坐标依次为 a ， b ， c ， ∴ 点 A （ a ， -a+6 ）， 点 B （ b ， -b+15 ）， 点 C （ c ， -c+30 ） . 设直线 AB 的表达式为 y＝mx+n ， 由题意可得 ma+n=-a+6 ， mb+n=-b+15 t . 解得 m=-1+ 9 b-a ， n=6- 9a b-a a - - - - , - - - - . . ∴ 直线 AB 的表达式为 y＝ -1+ 9 b-a ， a x+6- 9a b-a . ∵ 点 A ， B ， C 三点始终在一条直线上， ∴c -1+ 9 b-a ， a +6- 9a b-a ＝-c+30. ∴5a+3c＝8b. ∴a ， b ， c 之间的关系式为 图 2 E F G H Q 第 6 题答图 A B F E 第 7 题答图 x y C D E M O N x y C D E M O N P 图 1 图 2 第 8 题答图 247