专题12 代数几何综合题-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 1. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y=ax 2 +x+c （ a≠0 ） 与 x 轴交于点 A （ -2 ， 0 ）， B （ 6 ， 0 ）， 与 y 轴交于点 C. （ 1 ） 求出此抛物线的表达式， 并写出顶点坐标 . （ 2 ） 在抛物线上有一点 D ， 使线段 BD 与线段 AC 关于抛物线的对称轴成轴对称， 直接 写出点 D 的坐标， 并求出直线 AD 的表达式 . （ 3 ） 在 （ 2 ） 中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ， 抛物线上有一动点 P ， x 轴上有一 动点 Q. 是否存在以 A ， M ， P ， Q 为顶点的平行四边形？ 如果存在， 请直接写出点 Q 的坐 标； 如果不存在， 请说明理由 . O A B C x y 第 1 题图 专题 12 代数几何综合题 156 2. 在平面直角坐标系中， 直线 y= 1 2 x-2 与 x 轴交于点 B ， 与 y 轴交于点 C ， 二次函数 y= 1 2 x 2 +bx+c 的图象经过 B ， C 两点， 且与 x 轴的负半轴交于点 A ， 动点 D 在直线 BC 下方的 二次函数图象上 ． （ 1 ） 求二次函数的表达式 . （ 2 ） 如图 1 ， 连接 DC ， DB ， 设 △BCD 的面积为 S ， 求 S 的最大值 . （ 3 ） 如图 2 ， 过点 D 作 DM⊥BC 于点 M ， 是否存在点 D ， 使得 △CDM 中的某个角恰好 等于 ∠ABC 的 2 倍？ 若存在， 直接写出点 D 的横坐标； 若不存在， 请说明理由 ． 第 2 题图 A B C D x y O A B C D x y O M 图 1 图 2 代数几何综合题 专题 12 157 九年级下册 （北师大版）数学 3. 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 y＝－x＋3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B ， C ， 抛物线 y＝－x 2 ＋bx＋c 经过 B ， C 两点， 并与 x 轴交于另一点 A. （ 1 ） 求该抛物线所对应的函数表达式 . （ 2 ） 设 P （ x ， y ） 是 （ 1 ） 中所得抛物线上的一个动点， 过点 P 作直线 l⊥x 轴于点 M ， 交 直线 BC 于点 N. ① 若点 P 在第一象限内， 线段 PN 的长度是否存在最大值？ 若存在， 求出它的最大值及 此时 x 的取值； 若不存在， 请说明理由 . ② 求以 BC 为底边的等腰三角形 BPC 的面积 . x y l M N A B P C O 第 3 题图 158 第 4 题图 备用图 x y C F A B E O x y C A BO ４. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线经过点 A （ 1 ， 0 ）， B （ 5 ， 0 ）， C 0 ， 10 3 ! " 三点， 设点 E （ x ， y ） 是抛物线上一动点， 且在 x 轴下方， 四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四 边形 ． （ 1 ） 求抛物线的函数表达式 . （ 2 ） 当点 E （ x ， y ） 在抛物线上运动时， 试求 荀OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式， 并求出面积 S 的最大值 . （ 3 ） 是否存在这样的点 E ， 使 荀OEBF 为正方形？ 若存在， 求点 E 、 点 F 的坐标； 若不 存在， 请说明理由 ． 代数几何综合题 专题 12 159 九年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y=ax 2 +bx-3 （ a≠0 ） 与 x 轴交于 A （ -2 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ） 两点， 与 y 轴交于点 C． （ 1 ） 求抛物线的函数表达式 . （ 2 ） 点 P 从 A 点出发， 在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动， 同时点 Q 从 B 点出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 其中一个点到达终点 时， 另一个点也停止运动， 当 △PBQ 存在时， P ， Q 两点运动多少秒使 △PBQ 的面积最大？ 最大面积是多少？ （ 3 ） 当 △PBQ 的面积最大时， 在 BC 下方的抛物线上存在点 K ， 使 S △CBK ∶ S △PBQ =5 ∶ 2 ， 求 K 点的坐标 ． 第 5 题图 x y Q C BA O P 160 6. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y=- 1 6 x 2 +bx+c 过点 A （ 0 ， 4 ） 和 C （ 8 ， 0 ）， P （ t ， 0 ） 是 x 轴正半轴上的一个动点， M 是线段 AP 的中点， 将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90° 得线段 PB． 过点 B 作 x 轴的垂线， 过点 A 作 y 轴的垂线， 两直线相交于点 D． （ 1 ） 求 b ， c 的值 . （ 2 ） 当 t 为何值时， 点 D 落在抛物线上？ （ 3 ） 是否存在以 A ， B ， D 为顶点的三角形与 △AOP 相似？ 若存在， 求此时 t 的值； 若 不存在， 请说明理由 . A B C O x y P E D M 第 6 题图 代数几何综合题 专题 12 161 九年级下册 （北师大版）数学 7. 如图 1 ， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 与 x 轴的负半轴交于点 A ， 与 y 轴交于点 C （ 0 ， －3 ）， 顶点为 P （ －1 ， －4 ）， PB⊥x 轴于点 B. （ 1 ） 求抛物线的函数表达式 . （ 2 ） 连接 AC ， 在 x 轴下方的抛物线上存在点 N ， BN 与 AC 的交点 F 平分 BN ， 求点 F 的 坐标 . （ 3 ） 将线段 BP 和 BA 绕点 B 同时顺时针旋转相同的角度， 得到线段 BE ， BD ， 直线 PE ， AD 相交于点 M. ① 如图 2 ， 设 PE 与 x 轴相交于点 H ， BE 与 AD 相交于点 G ， 求 BG BH 的值； ② 连接 OM ， OM 的长随线段 BP ， BA 的旋转而发生变化， 请直接写出线段 OM 长度的 取值范围 ． 第 7 题图 图 1 图 2 x y A B C O F P N x y A B C O P N D G E H M 162 8. 如图， 在平面直角坐标系中， y=－ （ x－1 ） 2 ＋c 与 x 轴交于 A ， B （ A ， B 分别在 y 轴左、 右两侧） 两点， 与 y 轴正半轴交于点 C ， 顶点为 D ， 已知 A （ -1 ， 0 ） . （ 1 ） 求点 B ， C 的坐标； （ 2 ） 判断 △CDB 的形状并说明理由； （ 3 ） 将 △COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度 （ 0＜t＜3 ） 得到 △QPE. 设 △QPE 与 △CDB 重 叠部分 （如图中阴影） 的面积为 S ， 求 S 与 t 的函数关系式， 并写出自变量 t 的取值范围 . 备用图 y x A O B -1 C D y x A O B -1 C D P E Q 第 8 题图 代数几何综合题 专题 12 163 九年级下册 （北师大版）数学 9. 如图， 矩形 OABC 的两边在坐标轴上， 连接 AC ， 抛物线 y=x 2 -4x-2 经过 A ， B 两点 . （ 1 ） 求 A 点坐标及线段 AB 的长 . （ 2 ） 若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 边向点 B 移动， 1 s 后点 Q 也 由点 A 出发以每秒 7 个单位长度的速度沿 AO ， OC ， CB 边向点 B 移动， 当其中一个点到达 终点时另一个点也停止移动， 点 P 的移动时间为 t s. 当 PQ⊥AC 时， 求 t 的值 . （ 3 ） 在 （ 2 ） 的条件下， 当 PQ∥AC 时， 求点 P ， Q 的坐标及点 P 关于直线 OQ 的对称点 P′ 的坐标 . x y A B C O 第 9 题图 164 参考答案与提示 DM∥BE ， ∠AEB=∠MDK ， DM=DK ， ∴∠GDN=∠AEB ， ∴∠MDK=∠GDN ， ∴∠MDG= ∠KDN. ∵CM=ME ， ∴∠ECM=∠CEM. ∵DM∥BC ， AE∥DK ， ∴∠DKN=∠AEB ， ∠DMG+∠MCE=180°. 又 ∵∠CEM+ ∠AEB=180° ， ∴∠DMG=∠AEF=∠DKN. ∴△DMG≌△DKN. ∴DG=DN． 专题 12 代数几何综合题 1. 解 ： （ 1 ） 由题意得 4a-2+c=0 ， 36a+6+c=0 0 . 解得 a=- 1 4 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的表达 式为 y=- 1 4 x 2 +x+3 ， 顶点坐标是 （ 2 ， 4 ） . （ 2 ） 由对称性可得 D （ 4 ， 3 ） . 设直线 AD 的表达式为 y=kx+b （ k≠0 ） . ∵ 直线 AD 经过点 A （ -2 ， 0 ）， D （ 4 ， 3 ）， ∴ -2k+b=0 ， 4k+b=3 0 . 解得 k= 1 2 ， b=1 0 . ∴y= 1 2 x+1. （ 3 ） 存在 . 各点位置 如 图 所 示 ， 其 点 坐 标 为 Q 1 （ 2 ２ 姨 -2 ， 0 ） ， Q 2 （ -2 ２ 姨 -2 ， 0 ） ， Q 3 （ 6 -2 6 姨 ， 0 ） ， Q 4 （ 6 +2 6 姨 ， 0 ） . 提示： 由方程 - 1 4 x 2 +x+3=｜2｜ ， 解出 x 的值 ) * 2. 解： （ 1 ） 已知直线 y= 1 2 x-2 过点 B 和点 C ， 当 x=0 时， y=-2 ； 当 y=0 时， x=4 ， ∴B （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ） ． ∵ 二次函数 y= 1 2 x 2 +bx+c 的图象经过 B ， C 两点， ∴ c=-2 ， 1 2 ×4 2 +4b+c=0 0 . 解得 b=- 3 2 ， c=-2 0 ， ∴ 二次函数的表达式为 y= 1 2 x 2 - 3 2 x-2． （ 2 ） 如图 1 ， 过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E ， 交 BC 于点 F ， 过点 C 作 CG⊥DE 于 点 G ， 依题意设 D a ， 1 2 a 2 - 3 2 a- - . 2 ， 则 F a ， 1 2 a- - . 2 ， 其中 0＜a＜4. ∴FD＝ 1 2 a- 2- 1 2 a 2 - 3 2 a- - . 2 =- 1 2 a 2 +2a． ∴S=S △BFD ＋S △FCD = 1 2 FD · BE+ 1 2 FD · CG ， 即 S= 1 2 OB · DF= 1 2 ×4 - 1 2 a 2 +2 . a =-a 2 +4a=- （ a-2 ） 2 +4． ∵-1＜0 ， ∴ 抛物线开口向下 ． 又 ∵0＜a＜4 ， ∴ 当 a=2 时， S 有最大值， S 最大值 ＝4． （ 3 ） 存在， 点 D 的横坐标为 2 或 29 11 . 提 示： 如图 2 ， 在 x 轴上取点 K ， 使 CK=BK ， 则 ∠OKC=2∠ABC. 过点 B 作 BQ∥ MD 交 CD 延长线于点 Q ， 过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H ， 设点 K 的坐标为 （ m ， 0 ）， 则 OK=m ， CK=BK=4－m. 在 Rt△OKC 中，（ 4－m ） 2 =m 2 +2 2 ， 解得 m= 3 2 ， ∴CK= 5 2 . ① 当 ∠DCM=∠QCB=2∠ABC= ∠OKC 时， ∴tan∠QCB= BQ BC = BQ 2 5 姨 = MD CM = OC OK = 4 3 . ∴BQ= 8 5 姨 3 ． 易证 △QHB∽△BOC. ∴ BH OC = BQ BC . ∴BH= 8 3 ， HQ= 16 3 . ∴Q 20 3 ， - 16 3 - . ． ∵C （ 0 ， -2 ）， ∴ 直线 QC 的函数表达式为 y=- 1 2 x-2． 由 1 2 x 2 - 3 2 x-2=- 1 2 x-2 ， 解得 x 1 =2 ， x 2 =0 （舍）， ∴D 点的横坐标为 2． ② 当 ∠CDM=∠CQB=2∠ABC 时， 方法同 ① ， 可确定点 D 的横坐标为 29 11 ． 3. 解： （ 1 ） 已知直线 y=-x+3 经过 B ， C 两点， 令 y＝0 ， 得 x=3 ； 令 x=0 ， 得 y＝3. ∴B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ） . ∵ 点 B ， C 在抛物线 y=-x 2 +bx+c 上 ， 将 B ， C 两点代入可得 -9+3b+c=0 ， c=3 0 . 解得 b=2 ， c=3 0 . ∴ 所求函数表达式为 y=-x 2 +2x+3. （ 2 ） ① 存在 . ∵ 点 P 在 抛物线 y=-x 2 +2x+3 上， 且 PN⊥x 轴， ∴ 设点 P 的坐标为 （ x ， -x 2 +2x+3 ）， 点 N 的坐标 为 （ x ， -x+3 ） . 又 ∵ 点 P 在第一象限 ， ∴PN＝PM-NM＝ （ -x 2 +2x+3 ） - （ -x+3 ） ＝-x 2 +3x＝ - x- 3 2 - . 2 + 9 4 . ∴ 当 x= 3 2 时， 线段 PN 长度的最大值为 9 4 . ② 如图， 由题意知， 点 P 在线段 BC 的垂直平分线上， 又由 ① 知， OB＝OC. ∴BC 的中垂线同时也是 ∠BOC 的平 分线， ∴ 设点 P 的坐标为 （ a ， a ） . 又 ∵ 点 P 在抛物线 y=-x 2 +2x+3 上， 于是有 a=-a 2 +2a+3 ， ∴a 2 -a-3=0. 解得 a 1 = A B C D x y O E F G 图 1 图 2 第 2 题答图 第 1 题答图 O A B C x y M D P 4 P 1 P 3 P 2 Q 4 Q 2 Q 3 Q 1 y A B C D x O M Q H K 第 3 题答图 x y l M N A B P C O P 241 九年级下册 （北师大版）数学 1+ 13 姨 2 ， a 2 = 1- 13 姨 2 . ∴ 点 P 的 坐 标 为 1+ 13 姨 2 ， 1+ 13 姨 2 2 # 或 1- 13 姨 2 ， 1- 13 姨 2 2 2 . 若 点 P 的 坐 标 为 1+ 13 姨 2 ， 1+ 13 姨 2 2 2 ， 此时点 P 在第一象限， 在 Rt△OMP 和 Rt△BOC 中， MP=OM= 1+ 13 姨 2 ， OB=OC=3. S △BPC = S 四边形 BOCP -S △BOC =2S △BOP -S △BOC =2× 1 2 ×3× 1+ 13 姨 2 - 1 2 ×3×3= 3 13 姨 -6 2 . 若点 P 的坐标为 1- 13 姨 2 ， 1- 13 姨 2 2 2 ， 此时点 P 在 第三象限， 则 S △BPC =S △BOP +S △COP +S △BOC = 1 2 ×3× 1- 13 姨 2 ×2+ 1 2 ×3×3= 3 13 姨 +6 2 ， ∴△BPC 的面积为 3 13 姨 -6 2 或 3 13 姨 +6 2 . 4. 解： （ 1 ） 设所求抛物线的表达式为 y=ax 2 +bx+c ， ∵ 抛物线与 y 轴交于点 C 0 ， 10 3 2 2 ， ∴c= 10 3 . ∵ 抛物线经过点 A （ 1 ， 0 ）， B （ 5 ， 0 ）， 则由题意可得 a+b+ 10 3 =0 ， 25a+5b+ 10 3 =0 0 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . 解得 a= 2 3 ， b=-4 4 . ∴ 所求抛物线的表达式为 y= 2 3 x 2 －4x+ 10 3 ． （ 2 ） ∵ 点 E （ x ， y ） 是抛物线上一动点 ， 且在 x 轴下方 ， ∴y＜0. 即 -y＞0 ， -y 表示点 E 到直线 OA 的距离 ． ∵OB 是平行四边形 OEBF 的对角线 ， ∴S=2S △OBE =2× 1 2 OB · |y|=-5y=-5 2 3 x 2 -4x+ 10 3 2 2 =- 10 3 x 2 +20x- 50 3 . ∵S=- 10 3 （ x-3 ） 2 + 40 3 ， ∴S 与 x 之间 的函数表达式为 S=- 10 3 x 2 +20x- 50 3 （ 1＜x＜5 ）， S 的最大值为 40 3 ． （ 3 ） 存在 .∵ 当 OB⊥EF ， 且 OB=EF 时， 平行四边形 OEBF 是正方形， ∴ 此时点 E 的坐标只能为 5 2 ， - 5 2 2 2 . ∵ 当 x= 5 2 时， y= 2 3 x 2 －4x+ 10 3 = 2 3 × 5 2 2 2 2 －4× 5 2 + 10 3 =- 5 2 ， 因此坐标为 5 2 ， - 5 2 2 2 的点在抛物线上， ∴ 存在点 E 5 2 ， - 5 2 2 2 ， 使平行四边形 OEBF 为正方形， 此时点 F 的坐标为 5 2 ， 5 2 2 2 ． 5. 解： （ 1 ） 把点 A （ -2 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ） 分别代入 y=ax 2 +bx-3 （ a≠0 ）， 得 4a-2b-3=0 ， 16a+4b-3=0 4 . 解得 a= 3 8 ， b=- 3 4 0 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . ∴ 该抛物线的 函数表达式为 y= 3 8 x 2 － 3 4 x－3. （ 2 ） 设运动时间为 t 秒， 则 AP=3t ， BQ=t． ∴PB=6－3t． 由题意得， 点 C 的坐标为 （ 0 ， －3 ） ． 在 Rt△BOC 中， BC=5． 如图 1 ， 过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H ， QH∥CO ， ∴△BHQ∽△BOC. ∴ HQ OC = BQ BC ， 即 HQ 3 = t 5 . ∴HQ= 3 5 t. ∴S △PBQ = 1 2 PB · HQ= 1 2 （ 6-3t ）· 3 5 t=－ 9 10 t 2 + 9 5 t=－ 9 10 （ t－1 ） 2 + 9 10 ． 当 △PBQ 存在时， 0＜t＜2 ， ∴ 当 t=1 时， S △PBQ 最大 = 9 10 ． （ 3 ） 设直线 BC 的表达式为 y=kx+c （ k≠0 ） ． 把 B （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， －3 ） 代入， 得 4k+c=0 ， c=-3 4 . 解 得 k= 3 4 ， c=-3 4 . ∴ 直线 BC 的表达式为 y= 3 4 x－3． ∵ 点 K 在抛物线上， ∴ 设点 K 的坐标为 m ， 3 8 m 2 - 3 4 m- 2 2 3 ． 如图 2 ， 过点 K 作 KE∥y 轴， 交 BC 于点 E ， 则点 E 的坐标为 m ， 3 4 m- 2 2 3 ， ∴EK= 3 4 m－3－ 3 8 m 2 - 3 4 m- 2 2 3 =－ 3 8 m 2 ＋ 3 2 m． ∵ 当 △PBQ 的面积最大时， S △CBK ∶ S △PBQ =5 ∶ 2 ， S △PBQ = 9 10 ， ∴S △CBK = 9 4 ． S △CBK =S △CEK +S △BEK = 1 2 EK · m+ 1 2 EK ·（ 4－m ） = 1 2 × 4 · EK=2 - 3 8 m 2 + 3 2 2 2 m =－ 3 4 m 2 +3m ， 即 － 3 4 m 2 +3m= 9 4 ． 解得 m 1 =1 ， m 2 =3． 当 m=1 时， y=－ 27 8 ； 当 m=3 时， y=－ 15 8 ， ∴ 满足条件的点 K 的坐标为 1 ， - 27 8 2 2 和 3 ， - 15 8 2 2 ． x y Q C BA O P H x y Q C BA O P K E 图 1 图 2 第 5 题答图 242 参考答案与提示 6. 解： （ 1 ） 由题意可得 c=4 ， - 1 6 ×64+8b+c=0 ! . 解得 b= 5 6 ， c=4 ! . （ 2 ） ∵∠AOP=∠PEB=90° ， ∠OAP=∠EPB=90°－∠APO ， ∴△AOP∽△PEB. ∵M 是 AP 的中点， ∴PM=PB= 1 2 AP ， ∴ AO PE = AP BP =2. ∵AO=4 ， ∴PE=2 ， OE=OP+PE=t+2. 又 ∵DE= OA=4 ， ∴ 点 D 的坐标为 （ t+2 ， 4 ）， ∴- 1 6 （ t+2 ） 2 + 5 6 （ t+2 ） +4=4 ， 解得 t 1 =3 ， t 2 =－2. ∵t>0 ， ∴t=3 ， ∴ 当 t=3 时， 点 D 落在抛物线上 . （ 3 ） 存在 . ① 当 0<t<8 时， 如图 1 ， 由 （ 2 ） 得 AD=t+2 ， BE= 1 2 t ， BD=4－ 1 2 t. 若 △POA∽△ADB ， ∴ PO AD = AO BD ， 即 t t+2 = 4 4- 1 2 t . 整理方程得 t 2 +16=0 ， ∴ 方程无解 . 若 △POA∽△BDA ， ∴ PO BD = AO AD ， 即 t 4- 1 2 t = 4 t+2 . 解得 t 1 =2 5 姨 -2 ， t 2 =-2 5 姨 -2 （舍去） . ② 当 t>8 时， 如图 2 ， AD=t+2 ， BE= 1 2 t ， BD= 1 2 t－4. 若 △POA∽△ADB ， PO AD = AO BD ， 即 t t+2 = 4 1 2 t-4 . 解得 t=8±4 5 姨 ， 取 t=8+4 5 姨 . 若 △POA∽△BDA ， 同理， 解方程无解 . 综上所述， t= 2 5 姨 -2 或 t=4 5 姨 +8. 7. 解： （ 1 ） 设抛物线的表达式为 y=a （ x-h ） 2 +k ， ∵ 抛物线的顶点 P （ －1 ， －4 ）， 且 经过点 C （ 0 ， －3 ）， ∴-3=a （ 0+1 ） 2 -4. ∴a=1. ∴y= （ x+1 ） 2 -4 ， 即 y=x 2 +2x-3． （ 2 ） 如图， 由 题意， 得 x 2 +2x-3=0 ， ∴x 1 =-3 ， x 2 =1． ∴A （ －3 ， 0 ） ． ∵PB⊥x 轴， P （ －1 ， －4 ）， ∴B （ －1 ， 0 ）， 则易得直线 AC 的表达式为 y=-x-3． 过点 F 作 FI⊥x 轴于点 I ， 过点 N 作 NK⊥x 轴于点 K ， 易证 △FIB∽△NKB. ∴ FI NK = IB KB = FB NB ． ∵F 为 BN 的中点， ∴ FB NB = 1 2 ． 设点 F （ m ， -m- 3 ）， ∴IB=-1-m ， IF=m+3 ， ∴KB=2IB=-2-2m ， NK=2IF=2m+6. ∴N （ 2m+1 ， -2m-6 ） ． ∵ 点 N 在 y= （ x+1 ） 2 -4 上， ∴-2m-6= （ 2m+1+1 ） 2 -4. ∴m 1 =- 3 2 ， m 2 =-1. ∴F 1 - ３ 2 ， - 3 2 2 ( ， F 2 （ -1 ， -2 ） ． （ 3 ） ①∵AB=BD ， BE=BP ， ∴∠BAD=∠BDA= 180°-∠ABD 2 ， ∠E=∠BPE= 180°-∠EBP 2 ． 由旋转的性质， 得 ∠ABD=∠EBP ， ∴∠BAD=∠E． ∵∠ABG=∠ABG ， ∴△ABG∽△EBH. ∴ BG BH = AB BE ． ∵A （ －3 ， 0 ）， B （ －1 ， 0 ）， P （ －1 ， －4 ）， ∴BD=AB=2 ， BE=BP=4. ∴ BG BH = 2 4 = 1 2 ． ② 提示： 连接 AP ， 取 AP 的中点 K ， 连接 OK ， KM ， 则有 OK-KM≤ OM≤OK+KM ， 2 ２ 姨 - 5 姨 ≤OM≤2 ２ 姨 + 5 姨 ． 8. 解： （ 1 ） ∵ 点 A （ -1 ， 0 ） 在抛物线 y=- （ x-1 ） 2 +c 上， ∴0=- （ -1-1 ） 2 +c ， 得 c=4 ， ∴ 抛物线的表达式为 y=- （ x- 1 ） 2 +4. 令 x=0 ， 得 y=3 ， ∴C （ 0 ， 3 ）； 令 y=0 ， 得 x=-1 或 x=3 ， ∴B （ 3 ， 0 ） . （ 2 ） △CDB 为直角三角形 . 理由如下： 由抛物线的表达式， 得顶点 D 的坐标为 （ 1 ， 4 ） . 如图 1 ， 过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M ， 则 OM=1 ， DM=4 ， BM=OB- OM=2. 过点 C 作 CN⊥DM 于点 N ， 则 CN=1 ， DN=DM-MN=DM-OC=1. 在 Rt△OBC 中， 由勾股定理得 BC 2 =OB 2 + OC 2 =3 2 +3 3 =18. 在 Rt△CND 中， 由勾股定理得 CD 2 =CN 2 +DN 2 =2. 在 Rt△BMD 中， 由勾股定理得 BD 2 =BM 2 +DM 2 =20 ， ∴BC 2 +CD 2 =BD 2 . ∴△CDB 为直角三角形 . （ 3 ） 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b. ∵B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ）， ∴ 3k+b=0 ， b=3 ! . x y O A M P E C B D x y O B D M C P E A 图 1 图 2 第 6 题答图 x y A B C O F P N K I 第 7 题答图 243 九年级下册 （北师大版）数学 解得 k=-1 ， b=3 ! . ∴y=-x+3. 设直线 BD 的表达式为 y=mx+n. ∵B （ 3 ， 0 ）， D （ 1 ， 4 ）， ∴ 3m+n=0 ， m+n=4 ! . 解得 m=-2 ， n=6 ! . ∴y=-2x+6. 连接 CQ 并延长射线 CQ 交 BD 于点 G ， 直线 QE 是直线 CB 向右平移 t 个单位长度得到， 则 CQ∥x 轴， G 点的纵坐 标为 3. 又 ∵ 点 G 在 BD 上， 则 3=-2x+6 ， ∴x= 3 2 . ∴G 3 2 ， ， $ 3 . 设 QE 与 BD 的交点为 F ， 且纵坐标为 h ， 在 △COB 向右平移的过程中： ① 当 0＜t≤ 3 2 时， 如图 2 ， 由题意知 CQ=OP=BE=t ， QG= 3 2 -t ， 易得 △QGF∽△EBF. ∴ QG BE = 3-h h . ∴ 3 2 -t t = 3-h h . ∴h=2t. 设 PQ 与 BC 交于点 K ， 可得 QK=CQ=t ， PB=PK=3-t. S=S △QPE -S △PBK -S △FBE = 1 2 PE · PQ- 1 2 PB · PK- 1 2 BE · h= 1 2 ×3×3- 1 2 （ 3-t ） 2 - 1 2 t · 2t=- 3 2 t 2 +3t. ② 当 3 2 ＜t＜3 时， 如图 3 ， 设 PQ 分别与 BC ， BD 交于点 K ， J. ∵CQ=t ， ∴KQ=t ， PK=PB=3-t. 直线 BD 的表达式为 y=-2x+6 ， 令 x=t ， 得 y=6-2t ， ∴J （ t ， 6-2t ） . S=S △PBJ -S △PBK = 1 2 PB · PJ- 1 2 PB · PK= 1 2 （ 3-t ）（ 6-2t ） - 1 2 （ 3-t ） 2 = 1 2 t 2 -3t+ 9 2 . 综上所述， S 与 t 的函数表达式为 S= - 3 2 t 2 +3t 0<t≤ 3 2 ， 2 ， 1 2 t 2 -3t+ 9 2 3 2 <t< ， 2 3 3 + + + + * + + + + , . 9. 解： （ 1 ） ∵ 点 A 过抛物线 y=x 2 -4x-2 ， ∴ 当 x=0 时， y=－2 ， ∴A （ 0 ， －2 ） . ∵ 四边形 OABC 是矩形， ∴AB∥x 轴， 即 A ， B 的纵坐标相同； 当 y=－2 时， -2=x 2 -4x-2 ， 解得 x 1 =0 ， x 2 =4 ， ∴B （ 4 ， －2 ）， ∴AB=4. （ 2 ） 由题意知， P 点移 动路程为 AP=t ， Q 点移动路程为 7 （ t-1 ） =7t-7. ① 当 Q 点在 OA 上时 ， 即 0≤7t-7<2 ， 1≤t< 9 7 时 ， 如图 1 ， 若 PQ⊥AC ， 易得 Rt△QAP∽Rt△ABC. ∴ QA AB = AP BC ， 即 7t-7 4 = t 2 ， ∴t= 7 5 . ∵ 7 5 > 9 7 ， ∴ 此时 t 值不合题意 . ② 当 Q 点在 OC 上时 ， 即 2≤7t-7<6 ， 9 7 ≤t< 13 7 时 ， 如图 2 ， 过 Q 点作 QD⊥AB 于点 D ， ∴AD=OQ=7 （ t-1 ） -2=7t-9. ∴DP=t- （ 7t-9 ） =9-6t. 若 PQ⊥AC ， 易得 Rt△QDP∽Rt△ABC. ∴ QD AB = DP BC ， 即 2 4 = 9-6t 2 . ∴t= 4 3 . ∵ 9 7 < 4 3 < 13 7 ， ∴t= 4 3 符合题意 . ③ 当 Q 点在 BC 上时， 即 6≤7t-7≤8 ， 13 7 ≤t≤ 15 7 时， 如图 3 ， 若 PQ⊥AC ， 由三角形外角定理得 ∠QPB＞90° ， ∵∠PBQ=90° ， ∴△QPB 内角和大于 180° ， 这与 △QPB 的内角和为 180° 矛盾， 此时 PQ 不与 AC 垂直 . 综上所述， 当 PQ⊥AC 时， t 的值为 4 3 . （ 3 ） 当 PQ∥AC 时 ， 如图 4 ， △BPQ∽△BAC ， ∴ BP BA = BQ BC . ∴ 4-t 4 = 8-7 （ t-1 ） 2 ， 解得 t=2 ， 即当 t=2 时， PQ∥AC. 此时 AP=2 ， BQ=CQ=1 ， ∴P （ 2 ， －2 ）， Q （ 4 ， -1 ） . 作 P 点关于 OQ 的 对称点 P′ ， 连接 PP′ 交 OQ 于点 M ， 过点 P′ 作 P′N 垂直于抛物线的对称轴， 垂足为 N ， 连接 OP′. 在 Rt△OCQ 中， ∵OC=4 ， CQ=1 ， ∴OQ= 4 2 +1 姨 = 17 姨 . ∵S △OPQ =S 四边形 ABCO -S △AOP -S △QBP -S △COQ =8－ 1 2 ×2×2－ 1 2 ×2×1－ 1 2 ×4×1=3= 1 2 OQ · PM ， ∴PM= 6 17 姨 17 . ∴PP′=2PM= 12 17 姨 17 . ∵∠NPP′=∠COQ ， ∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′. ∴ CQ OQ = P′N PP′ . ∴P′N= 12 17 . 由勾股定理 得 PN= 48 17 ， 则点 P′ 的横坐标为 2+ 12 17 = 46 17 ， 纵坐标为 48 17 -2= 14 17 . ∴ 点 P 关于直线 OQ 的对称点 P′ 的坐标为 46 17 ， 14 17 ， 2 . y x A O B -1 C D M N y x A O B -1 C D P E Q K F G y x A O B -1 C D P E Q K J 图 1 图 2 图 3 第 8 题答图 244 参考答案与提示 专题 13 综合与实践 1. 解： （ 1 ） ∠EMB 或 ∠CBM 或 ∠ABP 或 ∠PBM （任写一个即可） （ 2 ） ①15 15 ②∠MBQ=∠CBQ. 理由： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠BAD=∠C=90°. 由折叠性质， 得 BM=AB ， ∠BMP=∠BAD=90° ， ∴BM=BC ， ∠BMQ=∠C=90°. 又 ∵BQ=BQ ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ （ HL ） . ∴∠CBQ=∠MBQ. （ 3 ） 由折叠的性质， 得 CF=DF=4 cm ， PM=AP. 由 （ 2 ） 知， Rt△BCQ≌Rt△BMQ ， ∴CQ=MQ. 当点 Q 在线段 CF 上时 ， ∵FQ=1 ， ∴MQ=CQ=CF-FQ=3 ， DQ=DF+FQ=5. 在 Rt△PDQ 中 ， ∵PQ 2 =PD 2 +DQ 2 ， ∴ （ AP+3 ） 2 = （ 8-AP ） 2 +25. ∴AP= 40 11 . 当点 Q 在线段 DF 上时 ， ∵FQ=1 ， ∴MQ=CQ=5 ， DQ=3. 在 Rt△PDQ 中 ， ∵PQ 2 =PD 2 +DQ 2 ， ∴ （ AP+5 ） 2 = （ 8-AP ） 2 +9. ∴AP= 24 13 . 综上所述， AP= 40 11 或 24 13 . 2. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 连接 HG ， ∵ 四边形 ACHI ， ABED 和 BCGF 是正方形， ∴AC=CH ， BC=CG ， AB=AD ， ∠ACH=∠BCG=∠CHI=∠CGL=90°. ∵∠ACB=90° ， ∴∠GCH=360°-90°-90°-90°=90°. ∴∠GCH=∠ACB. ∴△ACB≌ △HCG （ SAS ） . ∴GH=AB=AD. ∵∠GCH=∠CHI=∠CGL=90° ， ∴ 四边形 CGLH 是矩形 . ∴CL=GH. ∴AD=LC. （ 2 ） 证明： ∵ 四边形 ACHI ， ABED 是正方形， ∴∠I=∠CAI=∠DAB=90°. ∴∠BAM=90°. ∴∠BAC=∠MAI. ∵AC= AI ， ∠ACB=∠I=90° ， ∴△ABC≌△AMI （ ASA ） . 由 （ 1 ） 知 △ACB≌△HCG ， ∴△AIM≌△HGC. ∵ 四边形 CGLH 是 矩形， ∴S △CHG =S △CHL . ∴S △AIM =S △CHL . ∴ 正方形 ACHI 的面积等于四边形 ACLM 的面积 . （ 3 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABED 是正方形 ， ∴AB∥DE. 由 （ 2 ） 知 ， △AMI≌△HGC ， 四边形 CGLH 是矩形 ， ∴△AMI≌△CLH. ∴∠AMI=∠CLH. ∴AD∥LC. ∴ 四边形 ADJK 是平行四边形 . ∵ 四边形 ACHI 是正方形， ∴IH∥AC ， 即 ML∥AC. ∴ 四边形 ACLM 是平行四边形 . 由 （ 1 ） 知 AD=LC ， ∴S 荀ADJK =S 荀ACLM =S 正方形 ACHI . 如图 1 ， 延长 EB 交 LG 于点 Q ， 同理有 S 荀KJEB =S 荀CBQL =S 正方形 BFGC ， ∴S 正方形 ACHI +S 正方形 BFGC =S 荀ADJK +S 荀KJEB =S 正方形 ADEB . ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 . （ 4 ） 解： 如图 2 即为所求作的 荀ADEB. 3. 解： （ 1 ） 75° （ 2 ） 如图 1 ， 连接 PB ， ∵AP∥BC ， AP=BC ， ∴ 四边形 PBCA 为平行四边形 . ∵CA=CB ， ∴ 平行四边形 PBCA 为菱形 . ∴PB=AC=6 ， ∠PBC=180°-∠C=60°. 在 Rt△PBE 中， ∵∠PEB= 90° ， sin∠PBC= PE PB ， cos∠PBC= BE PB ， ∴PE=PB · sin60°=3 3 姨 ， PB · cos60°=BE=3. ∵CA=CB ， ∠C=120° ， ∴∠ABC=30° . 在 Rt△BOE 中 ， OE=BE · tan∠ABC= 3 姨 ， ∴S 四 边 形 OECA =S △ABC - S △OBE = 1 2 ×6×3 3 姨 - 1 2 ×3× 3 姨 = 15 2 3 姨 . x y A B C O Q P x y A B C O P Q D x y A B C O Q P 图 1 图 2 图 3 图 4 第 9 题答图 x y A B C O P Q N P′ M A B C D E F G H I L M K J Q A B C I F H G L D E 图 1 图 2 第 2 题答图 A B C O E P l 图 1 245