专题11 几何探索题-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 1. △ABC 是等边三角形， 点 D 是射线 BC 上的一个动点 （点 D 与点 B ， C 不重合）， △ADE 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 E 作 BC 的平行线， 分别交射线 AB ， AC 于点 F ， G ， 连接 BE. （ 1 ） 如图 1 ， 当点 D 在线段 BC 上时： ① 求证： △AEB≌△ADC ； ② 探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形， 并说明理由 . （ 2 ） 如图 2 ， 当点 D 在 BC 的延长线上时， 直接写出 （ 1 ） 中的两个结论是否成立 . （ 3 ） 在 （ 2 ） 的情况下， 当点 D 运动到什么位置时， 四边形 BCGE 是菱形？ 请说明理由 . A B C D G E F A B E F C D G 图 2 图 1 第 1 题图 专题 11 几何探索题 148 2. 已知等腰三角形 ABC 中， ∠ACB=90° ， 点 E 在 AC 边的延长线上， 且 ∠DEC=45° ， 点 M ， N 分别是 DE ， AE 的中点， 连接 MN 交直线 BE 于点 F. 当点 D 在 CB 边的延长线上时， 如图 1 所示， 易证 MF+FN= 1 2 BE. （不需要证明） （ 1 ） 当点 D 在 CB 边上时， 如图 2 所示， 上述结论是否成立？ 若成立， 请给出证明； 若 不成立， 请写出你的猜想， 并说明理由 . （ 2 ） 当点 D 在 BC 边的延长线上时， 如图 3 所示， 请直接写出你的结论 . （不需要证明） M N C A B D E F M E C N D B F A M D E B F N C A 图 1 图 2 图 3 第 2 题图 几何探索题 专题 11 149 九年级下册 （北师大版）数学 3. 已知： 在 △ABC 中， BC＞AC ， 动点 D 绕 △ABC 的顶点 A 逆时针旋转， 且 AD=BC ， 连 接 DC. 过 AB ， DC 的中点 E ， F 作直线， 直线 EF 与 AD 的延长线、 BC 的延长线分别相交于 点 M ， N. （ 1 ） 如图 1 ， 当点 D 旋转到 BC 的延长线上时， 点 N 恰好与点 F 重合， 取 AC 的中点 H ， 连接 HE ， HF ， 根据三角形中位线定理和平行线的性质， 可得结论 ∠AMF=∠BNE. （不需 证明） （ 2 ） 当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时， ∠AMF 与 ∠BNE 有何数量关系？ 请分别写 出猜想， 并任选一种情况证明 . 4. 如图 1 ， 四边形 ABCD 是正方形， M 是 BC 边上的一点， E 是 CD 边的中点， AE 平分 ∠DAM． （ 1 ） 求证： AM=AD+MC. （ 2 ） AM=DE+BM 是否成立？ 若成立， 请给出证明； 若不成立， 请说明理由 . （ 3 ） 若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形， 其他条件不变， 如图 2 ， 探究 （ 1 ） （ 2 ） 中的结论是否成立， 请分别作出判断， 不需要证明 ． 第 4 题图 F （ N ） C M D A E B M N D F C A E B C F D N M B E A 图 2 图 3 图 1 第 3 题图 H 图 1 图 2 E M A B C D E M A B C D 150 5. 如图， 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形， 连接 BG 与 DE 相交于点 H. （ 1 ） 求证： △ABG≌△ADE ； （ 2 ） 试猜想 ∠BHD 的度数， 并说明理由； （ 3 ） 将图中正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 （ 0°＜∠BAE＜180° ）， 设 △ABE 的面积为 S 1 ， △ADG 的面积为 S 2 ， 判断 S 1 与 S 2 的大小关系， 并给予证明 . 6. 如图， 在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点 . （ 1 ） 如图 1 ， 若 F 是 AD 延长线上一点， 且 DF＝BE ， 求证： CE＝CF ； （ 2 ） 如图 2 ， 若 G 在 AD 上， 且 ∠GCE＝45° ， 请你利用 （ 1 ） 中的结论证明 GE＝BE＋GD ； （ 3 ） 运用 （ 1 ） （ 2 ） 中所积累的经验和知识， 完成下题： 如图 3 ， 在直角梯形 ABCD 中， AD∥BC （ BC＞AD ）， ∠B＝90° ， AB＝BC＝12 ， E 是 AB 上一点， 且 ∠DCE＝45° ， BE＝4 ， 求 DE 的长 . A G F E B C D H 第 5 题图 A D F E B C A D F E B C G A D C E B 图 1 图 2 图 3 第 6 题图 几何探索题 专题 11 151 九年级下册 （北师大版）数学 7. 如图， 在四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O. （ 1 ） 如图 1 ， 若四边形 ABCD 为正方形， 现将 △BOC 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 △B′OC′ ， OC′ 与 CD 交于点 M ， OB′ 与 BC 交于点 N ， 请猜想线段 CM 与 BN 的数量关系， 并 证明你的猜想； （ 2 ） 如图 2 ， 若四边形 ABCD 仍为正方形， 现将 △BOC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到 △BO′C′ ， 连接 AO′ ， DC′ ， 请猜想 AO′ 与 DC′ 的数量关系， 并说明理由； （ 3 ） 如图 3 ， 若四边形 ABCD 为矩形， 以 A 为顶点作 △AEF ， 使 ∠AEF=90° ， ∠EAF= ∠DAC ， 连接 DE ， CF ， 若设 ∠DAC=α ， 请求出 DE CF 的值 . （请用含有 α 的三角函数表示） 图 1 图 2 图 3 第 7 题图 M D C′ O B C B′ N A D C′ O B C A O′ D B C A O F E 152 8. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠A=30° ， 点 O 为 AB 的中点， 点 P 为直线 BC 上的动点 （不与点 B 、 点 C 重合）， 连接 OC ， OP ， 将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60° ， 得到 线段 PQ ， 连接 BQ． （ 1 ） 如图 1 ， 当点 P 在线段 BC 上时， 请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系 . （ 2 ） 如图 2 ， 当点 P 在 CB 的延长线上时， （ 1 ） 中结论是否成立？ 若成立， 请加以证 明； 若不成立， 请说明理由 . （ 3 ） 如图 3 ， 当点 P 在 BC 的延长线上时， 若 ∠BPO=15° ， BP=4 ， 请求出 BQ 的长 . 图 1 图 2 图 3 第 8 题图 A O Q B P C A O C B P Q Q B O A P C 几何探索题 专题 11 153 九年级下册 （北师大版）数学 9. 如图， ∠MAN=60° ， AP 平分 ∠MAN ， 点 B 是射线 AP 上一定点， 点 C 在直线 AN 上 运动， 连接 BC ， 将 ∠ABC （ 0°＜∠ABC＜120° ） 的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转 120° ， 旋转后角的两边分别与射线 AM 交于点 D 和点 E． （ 1 ） 如图 1 ， 当点 C 在射线 AN 上时： ① 请判断线段 BC 与 BD 的数量关系， 直接写出结论； ② 请探究线段 AC ， AD 和 BE 之间的数量关系， 写出结论并证明 . （ 2 ） 如图 2 ， 当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时， BC 交射线 AM 于点 F ， 若 AB=4 ， AC= 3 姨 ， 请直接写出线段 AD 和 DF 的长 ． 图 1 图 2 第 9 题图 NC A B P D E M N C A F B P E M D 154 10. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， 点 D 是边 AB 的中点， 点 E 在边 BC 上， AE= BE ， 点 M 是 AE 的中点， 连接 CM 并延长交 AB 于点 F ， 点 G 在线段 CM 上， 作 ∠GDN= ∠AEB 交边 BC 于点 N． （ 1 ） 如图 1 ， 当点 G 和点 M 重合时， 求证： DG=DN. （ 2 ） 如图 2 ， 当点 G 和点 M ， C 不重合时， （ 1 ） 中结论还成立吗？ 如果成立， 请证明； 如果不成立， 说明理由 . 图 1 图 2 第 10 题图 A M C （ G ） E D B N F A M C G E D B N F 几何探索题 专题 11 155 九年级下册 （北师大版）数学 7. 解： 如图， 过点 B 作 BH⊥EF 于点 H ， 则四边形 BCFH 为矩形， BC=HF=1.5 m ， ∴∠HBA=∠BAC=30°. 在 Rt△ABC 中， ∵∠BAC=30° ， BC=1.5 m ， ∴AB=3 m. ∵AD= 1 m ， ∴BD=2 m. 在 Rt△EDB 中， ∵∠EBD=60° ， ∴∠BED=90°-60°=30°. ∴EB=2BD=2× 2=4 （ m ） . 又 ∵∠HBA=∠BAC=30° ， ∴∠EBH=∠EBD-∠HBD=30° . ∴EH= 1 2 EB=2 m， ∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5 （ m ） . 答： 该支架的边 BE 为 4 m ， 顶端 E 到地面的距离 EF 的长度为 3.5 m. 8. 解： （ 1 ） 测量方案如图所示： 其中 α ， β 是测得的角度， BN=c. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 四边形 ANMF 是矩形， 在 N 处测得 E 点的仰角为 α ， 测得 F 点的俯角为 β. 在 Rt△EMN 和 Rt△FMN 中， ∵tan α= EM MN ， tan β= FM MN ， FM=AN=a+c ， ∴MN= EM tan α = FM tan β = a+c tan β . ∴EM= （ a+c ） tan α tan β . ∴ 烟囱的高度为 MF+EM= （ a+c ） + （ a+c ） tan α tan β = （ a+c ） 1+ tan α tan β 茁 % . 9. 解： （ 1 ） ∵FM∥CG ， ∴∠BDF=∠BAC=30°. ∵ 斜坡 AB 长 60 m ， D 是 AB 的 中点， ∴BD=30 m. 在 Rt△BFD 中， DF=BD · cos∠BDF=30× 3 姨 2 =15 3 姨 （ m ）， BF= BD · sin∠BDF=30× 1 2 =15 （ m ） . ∵ 斜坡 BE 的坡度为 1 ∶ 0.8 ， ∴BF ∶ EF =1 ∶ 0.8. 解得 EF=12 m. ∴DE=DF-EF=15 3 姨 -12≈14.0 （ m ） . 答： 平台 DE 的长为 14.0 m. （ 2 ） ∵FM∥CG ， ∴ 易得 △BDF∽ △BAC. ∴ BD AB = BF BC . ∵D 是 AB 的中点， ∴CF=BF=15 m. 设 GH=x m ， 则 MH=GH-GM=x-15 ， GH′=GH=x ， MH′=GH′ +GM=x+15. 在 Rt△EMH 中， tan 30°= MH EM = 3 姨 3 ； 在 Rt△EMH′中， tan45°= MH′ EM =1 ， ∴ MH MH′ = 3 姨 3 ， 即 x-15 x+15 = 3 姨 3 . 解得 x=15× （ 2+ 3 姨 ）， 即 GH=15× （ 2+ 3 姨 ） ≈56.0 （ m ） . 答： 建筑物 GH 的高约为 56.0 m. 专题 11 几何探索题 1. （ 1 ） ① 证明： ∵△ABC 和 △ADE 都是等边三角形， ∴AE=AD ， AB=AC ， ∠EAD=∠BAC=60°. 又 ∵∠EAB= ∠EAD-∠BAD ， ∠DAC=∠BAC-∠BAD ， ∴∠EAB=∠DAC ， ∴△AEB≌△ADC. ② 解： 是平行四边形 . 理由： 由 ① 得 △AEB≌△ADC ， ∴∠ABE=∠C=60°. 又 ∵∠BAC=∠C=60° ， ∴∠ABE=∠BAC. ∴EB∥GC. 又 ∵EG∥BC ， ∴ 四边形 BCGE 是平行四边形 . （ 2 ） ①② 都成立 . （ 3 ） 解： 当 CD=CB BD=2CD ， CD= 1 2 BD 茁 % 或 ∠CAD=30° 或 ∠BAD=90° 时， 四边形 BCGE 是菱形 . 理由： 由 ① 得 △AEB≌△ADC ， ∴BE=CD. 又 ∵CD=CB ， ∴BE=CB. 由 ② 得四边形 BCGE 是平行四边形， ∴ 四边形 BCGE 是菱形 . 2. 解： （ 1 ） 不成立 . 猜想： FN-MF= 1 2 BE. 理由如下： 如图 2 ， 连接 AD. ∵M ， N 分别是 DE ， AE 的中点， ∴MN= 1 2 AD. 又 ∵AC＝BC ， ∠ACB＝∠BCE ， DC＝CE ， ∴△ACD≌△BCE （ SAS ） . ∴AD=BE. ∵MN=FN-MF ， ∴FN- MF= 1 2 BE. （ 2 ） MF-FN= 1 2 BE. 3. （ 2 ） 图 2 中的结论： ∠AMF=∠ENB ； 图 3 中的结论： ∠AMF+∠BNE=180°. 证明： 如图 2 ， 取 AC 的中点 H ， 连接 HE ， HF. ∵F 是 DC 的中点， H 是 AC 的中点， ∴HF∥AD ， HF= 1 2 AD ， ∴∠AMF=∠HFE. 同理 HE∥CB ， A D B C F a b E N β α M 第 8 题答图 第 2 题答图 E A M C N D B F E M D B F N C A 图 2 图 3 图 2 图 3 第 3 题答图 M N D F C A E B H C F D N M B E A H A F D B E H C 第 7 题答图 238 参考答案与提示 HE= 1 2 CB ， ∴∠ENB=∠HEF. ∵AD=BC ， ∴HF=HE ， ∴∠HEF=∠HFE. ∴∠ENB=∠AMF. 图 3 证明与图 2 同理可得， ∴∠AME=∠ENB. ∵∠AMF+∠AME=180° ， ∴∠AMF+∠BNE=180°. 4. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 延长 AE ， BC 交于点 N ， ∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴AD∥BC. ∴∠DAE =∠ENC． ∵AE 平 分 ∠DAM ， ∴∠DAE=∠MAE . ∴∠ENC =∠MAE . ∴MA=MN ． ∵∠AED＝∠NEC ， DE＝CE ， ∠DAE=∠ENC ， ∴△ADE≌△NCE （ AAS ）， ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC． （ 2 ） AM= DE+BM 成立 ． 证明： 如图 2 ， 过点 A 作 AF⊥AE ， 交 CB 的延 长线于点 F ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴∠BAD=∠D= ∠ABC=90° ， AB=AD ， AB∥DC． ∵AF⊥AE ， ∴∠FAE=90°. ∴∠FAB=90°－∠BAE． ∵∠DAE=90°－∠BAE ， ∴∠FAB＝ ∠EAD. ∴△ABF≌△ADE （ ASA ） ． ∴BF=DE ， ∠F=∠AED． ∵AB∥DC ， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM ， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM. ∴∠F=∠FAM. ∴AM=FM. ∴AM=FB+BM=DE+BM． （ 3 ） （ 1 ） 中的结论 AM=AD+MC 仍然成立 ． （ 2 ） 中的结论 AM=DE+BM 不成立 ． 5. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形， ∴AG＝AE ， AB＝AD ， ∠GAE＝∠BAD＝90°. ∴∠GAE+ ∠EAB＝∠BAD+∠EAB， 即 ∠GAB＝∠EAD ， ∴△ABG≌△ADE. （ 2 ） 解： ∠BHD＝90°. 理由： 如图， ∵△ABG≌ △ADE ， ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4 ， ∴∠1+∠3＝∠2+∠4. ∵∠2+∠4＝90° ， ∠1+∠3＝90°. ∴∠BHD＝90°. （ 3 ） 当正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 （ 0°＜∠BAE＜180° ） 时 ， S 1 =S 2 . 证明 ： ∵0°＜∠BAE＜180° ， ∴ 分三种情况 ： ① 当 0°＜ ∠BAE＜90° 时 （如图 1 ）， 过点 B 作 BM⊥AE ， 交 AE 的延长线于点 M ， 过点 D 作 DN⊥AG ， 交 GA 的延长线于点 N. ∵∠MAN＝∠BAD＝90°， ∴∠MAB＝∠NAD. 又 ∵∠AMB＝∠AND＝90° ， AB＝AD ， ∴△AMB≌△AND. ∴BM＝DN. 又 ∵AE=AG ， ∴ 1 2 AE · BM= 1 2 AG · DN. ∴S 1 =S 2 . ② 当 ∠BAE＝90° 时 （如图 2 ）， ∵AE=AG ， ∠BAE＝∠DAG＝90° ， AB＝ AD ， ∴△ABE≌△ADG. ∴S 1 =S 2 . ③ 当 90°＜∠BAE＜180° 时 （如图 3 ）， 同理 ① ， 可证 S 1 =S 2 . 综上所述， 在 （ 3 ） 的条 件下， 总有 S 1 =S 2 . 6. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD ， ∠B＝∠CDF=90°. 又 ∵BE＝DF ， ∴△CBE≌△CDF. ∴CE＝CF. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知 △CBE≌△CDF ， ∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠BCE＋ ∠ECD＝∠DCF＋∠ECD， 即 ∠ECF＝∠BCD＝90° . ∵∠GCE＝45° ， ∴∠GCF＝∠GCE＝45° . 又 ∵CE＝CF ， GC＝GC ， ∴△ECG≌△FCG. ∴GE＝GF. ∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD. （ 3 ） 解： 如 图， 过 C 作 CG⊥AD ， 交 AD 的延长线于 G. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC ， ∠B＝90° ， ∴∠A＝∠B＝90°. 又 ∵∠CGA＝90° ， AB＝BC ， ∴ 四边形 ABCD 为正方形 . ∴AG＝BC＝12. ∵∠DCE＝ 45° ， 根据 （ 1 ） （ 2 ） 可知， ED＝BE＋DG. 设 DE＝x ， 则 DG＝x-4. ∴AD＝16-x. 在 Rt△AED 中， ∵DE 2 =AD 2 +AE 2 ， 即 x 2 = （ 16-x ） 2 +8 2 . 解得 x＝10. ∴DE＝10. 7. 解： （ 1 ） BN=CM. 理由： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴BO=CO ， ∠OBC=∠OCD=45°. 由旋转知， ∠B′OC′= 90° ， ∴∠BON=∠COM， ∴△BON≌△COM， ∴BN=CM. （ 2 ） AO′= ２ 姨 2 DC′. 理由： 由旋转知， ∠O′BC′=∠OBC= 45° ， ∠BO′C′=∠BOC=90°, ∴ BO′ BC′ = ２ 姨 2 . 又 ∵∠ABO=45° ， ∴ AB BD = ２ 姨 2 . ∵∠ABO′=∠ABO－∠OBO′, ∠DB C′= ∠O′BC′－∠OBO′, ∴∠ABO′=∠DBC′ ， BO′ BC′ = AB BD = ２ 姨 2 . ∴△ABO′∽△DB C′. ∴ AO′ DC′ = ２ 姨 2 ， 即 AO′= ２ 姨 2 DC′. （ 3 ） ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴∠ADC=90°. ∵∠AEF=90°, ∴∠AEF=∠ADC. 又 ∵∠EAF=∠DAC=α ， ∴△AEF∽ A D C B G F E F E D G A B C 图 1 图 2 第 5 题答图 图 3 B A G F E C D H M 2 3 1 N 4 N M 第 6 题答图 A D C E B G 图 2 图 1 第 4 题答图 E M A B C D N E M A B C D F 239 九年级下册 （北师大版）数学 △ADC. ∴ AE AD = AF AC . ∵∠EAF+∠FAD=∠DAC+∠FAD ， ∴∠EAD=∠FAD. ∴△AED∽△AFC. ∴ DE CF = AE AF =cos 琢. 8. 解： （ 1 ） 结论： BQ=CP． 理由： 如图 1 ， 连接 OQ ， ∵ 线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60° ， 得到线段 PQ ， ∴PO= PQ ， ∠OPQ=60°. ∴△OPQ 是等边三角形 . ∴∠POQ=60° ， PO=QO. 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB=90° ， ∠A=30° ， O 为 AB 的中点， ∴CO=AO=BO ， ∠CBO=60°. ∴△CBO 是等边三角形 . ∴∠POQ=∠COB=60°. ∵∠COB=∠COP+∠POB ， ∠POQ=∠BOQ+∠POB ， ∴∠COP =∠BOQ. 又 ∵CO=BO ， PO=QO ， ∴△COP≌△BOQ. ∴PC=BQ． （ 2 ） 成立， PC= BQ． 提示： 如图 2 ， 连接 OQ ， ∵ 线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60° ， 得到线段 PQ ， ∴PO=PQ ， ∠OPQ=60°. ∴△OPQ 是等边三角形 . ∴∠POQ=60° ， PO=QO. 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB=90° ， ∠A=30° ， O 为 AB 的中点， ∴CO=AO=BO ， ∠CBO=60°. ∴△CBO 是等边三角形 . ∴∠POQ=∠COB=60°. ∵∠COP=∠COB+∠POB ， ∠BOQ=∠POQ+∠POB ， ∴∠COP= ∠BOQ. 又 ∵CO=BO ， PO= QO ， ∴△COP≌△BOQ. ∴PC=BQ． （ 3 ） 如图 3 ， 连接 OQ ， 过点 Q 作 QD⊥BP 于点 D. 同理 （ 2 ） 可得， △OCB 是等边三角形， △OPQ 是等边三角形， ∴OP=OQ ， ∠POQ=60°. ∴∠POQ-∠COQ=∠COB- ∠COQ ， 即 ∠COP=∠BOQ. ∴△COP≌△BOQ （ SAS ） . ∴∠OPC=∠OQB=15° . ∴∠DPQ=60°-15°=45°=∠PQD ， ∠PQB-∠PQO+∠OQB=60°+15°=75°. ∴∠PBQ=180°-45°-75°=60°. ∴∠BQD=∠PQB-∠PQD=75°-45°=30°. ∴BQ=2BD. 设 BD=x ， 则 PD=BP-BD=4-x. ∴DQ=4-x. 又 ∵tan∠DBQ= DQ BD =tan 60°= 3 姨 ， ∴DQ= 3 姨 BD= 3 姨 x. ∴4-x= 3 姨 x. 解 得 x-2 3 姨 -2. ∴BQ=2BD=2x=4 3 姨 -4. 9. 解： （ 1 ） ① 结论： BC=BD． 提示： 如图 1 ， 作 BG⊥AM 于点 G ， BH⊥AN 于 H． ∵∠MAN=60° ， PA 平分 ∠MAN ， BG⊥AM 于点 G ， BH⊥AN 于点 H ， ∴BG=BH ， ∠GBH=∠CBD=120° ， ∴∠CBH= ∠GBD. ∵∠BGD=∠BHC=90° ， ∴△BGD≌△BHC ， ∴BD=BC． ② 结论： AD+AC= 3 姨 BE． ∵∠ABE=120° ， ∠BAE=30° ， ∴∠BEA= ∠BAE=30° . ∴BA=BE. ∵BG⊥AE ， ∴AG=GE ， EG=BE · cos 30°= 3 姨 2 BE. ∵△BGD≌△BHC ， ∴DG =CH. ∵AB = AB ， BG = BH ， ∴Rt△ABG≌Rt△ABH. ∴AG =AH. ∴AD +AC =AG +DG +AH -CH = 2AG= 3 姨 BE. ∴AD+AC= 3 姨 BE． （ 2 ） 如图 2 ， 作 BG⊥AM 于 点 G ， BH⊥AN 于点 H ， BQ∥AN 交 AM 于点 Q． 由 （ 1 ） 可知， △ABG≌△ABH ， △BGD≌△BHC ， 易知 BH=GB= 2 ， AH=AG=EG=2 3 姨 ， CH=DG=3 3 姨 ， BC=BD= BH 2 +CH 2 姨 = 31 姨 ， ∴AD=5 3 姨 . ∵∠BQE=60° ， ∠BEQ= 30° ， ∴∠EBQ=90°. ∴BQ= 3 姨 3 BE= 4 3 3 姨 ， EQ=2BQ= 8 3 姨 3 . ∴AQ=AE-EQ=4 3 姨 - 8 3 3 姨 = 4 3 3 姨 . 设 AF=x ， 则 FQ= 4 3 3 姨 -x. ∵BQ∥AC ， ∴△FQB∽△FAC. ∴ FQ FA = BQ CA ， 即 4 3 姨 3 -x x = 4 3 姨 3 3 姨 ， ∴x= 4 3 姨 7 ， ∴DF=AD-AF= 5 3 姨 - 4 3 姨 7 = 31 3 姨 7 . 10. （ 1 ） 证明： ∵AM=ME ， AD=DB ， ∴DM∥BE ， ∴∠GDN+∠DNE=180°. ∵∠GDN= ∠AEB ， ∴∠AEB+∠DNE=180° . ∴AE∥DN. ∴ 四边形 DMEN 是平行四边形 . ∵DM= 1 2 BE ， EM= 1 2 AE ， AE=BE ， ∴DM=EM. ∴ 四边形 DMEN 是菱形 . ∴DG=DN． （ 2 ） 解： 成立 . 如图 ， 取 BE 的中点 K ， 连接 DM ， DK． 由 （ 1 ） 可知四边形 EMDK 是菱形 ， A O C B P Q 图 1 图 2 图 3 第 8 题答图 O Q C B P A B P C A Q D O M A B D G C E K N F 第 10 题答图 图 1 图 2 第 9 题答图 B P A C H N G D E M C A H N B F G E D M P Q 240 参考答案与提示 DM∥BE ， ∠AEB=∠MDK ， DM=DK ， ∴∠GDN=∠AEB ， ∴∠MDK=∠GDN ， ∴∠MDG= ∠KDN. ∵CM=ME ， ∴∠ECM=∠CEM. ∵DM∥BC ， AE∥DK ， ∴∠DKN=∠AEB ， ∠DMG+∠MCE=180°. 又 ∵∠CEM+ ∠AEB=180° ， ∴∠DMG=∠AEF=∠DKN. ∴△DMG≌△DKN. ∴DG=DN． 专题 12 代数几何综合题 1. 解 ： （ 1 ） 由题意得 4a-2+c=0 ， 36a+6+c=0 0 . 解得 a=- 1 4 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的表达 式为 y=- 1 4 x 2 +x+3 ， 顶点坐标是 （ 2 ， 4 ） . （ 2 ） 由对称性可得 D （ 4 ， 3 ） . 设直线 AD 的表达式为 y=kx+b （ k≠0 ） . ∵ 直线 AD 经过点 A （ -2 ， 0 ）， D （ 4 ， 3 ）， ∴ -2k+b=0 ， 4k+b=3 0 . 解得 k= 1 2 ， b=1 0 . ∴y= 1 2 x+1. （ 3 ） 存在 . 各点位置 如 图 所 示 ， 其 点 坐 标 为 Q 1 （ 2 ２ 姨 -2 ， 0 ） ， Q 2 （ -2 ２ 姨 -2 ， 0 ） ， Q 3 （ 6 -2 6 姨 ， 0 ） ， Q 4 （ 6 +2 6 姨 ， 0 ） . 提示： 由方程 - 1 4 x 2 +x+3=｜2｜ ， 解出 x 的值 ) * 2. 解： （ 1 ） 已知直线 y= 1 2 x-2 过点 B 和点 C ， 当 x=0 时， y=-2 ； 当 y=0 时， x=4 ， ∴B （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ） ． ∵ 二次函数 y= 1 2 x 2 +bx+c 的图象经过 B ， C 两点， ∴ c=-2 ， 1 2 ×4 2 +4b+c=0 0 . 解得 b=- 3 2 ， c=-2 0 ， ∴ 二次函数的表达式为 y= 1 2 x 2 - 3 2 x-2． （ 2 ） 如图 1 ， 过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E ， 交 BC 于点 F ， 过点 C 作 CG⊥DE 于 点 G ， 依题意设 D a ， 1 2 a 2 - 3 2 a- - . 2 ， 则 F a ， 1 2 a- - . 2 ， 其中 0＜a＜4. ∴FD＝ 1 2 a- 2- 1 2 a 2 - 3 2 a- - . 2 =- 1 2 a 2 +2a． ∴S=S △BFD ＋S △FCD = 1 2 FD · BE+ 1 2 FD · CG ， 即 S= 1 2 OB · DF= 1 2 ×4 - 1 2 a 2 +2 . a =-a 2 +4a=- （ a-2 ） 2 +4． ∵-1＜0 ， ∴ 抛物线开口向下 ． 又 ∵0＜a＜4 ， ∴ 当 a=2 时， S 有最大值， S 最大值 ＝4． （ 3 ） 存在， 点 D 的横坐标为 2 或 29 11 . 提 示： 如图 2 ， 在 x 轴上取点 K ， 使 CK=BK ， 则 ∠OKC=2∠ABC. 过点 B 作 BQ∥ MD 交 CD 延长线于点 Q ， 过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H ， 设点 K 的坐标为 （ m ， 0 ）， 则 OK=m ， CK=BK=4－m. 在 Rt△OKC 中，（ 4－m ） 2 =m 2 +2 2 ， 解得 m= 3 2 ， ∴CK= 5 2 . ① 当 ∠DCM=∠QCB=2∠ABC= ∠OKC 时， ∴tan∠QCB= BQ BC = BQ 2 5 姨 = MD CM = OC OK = 4 3 . ∴BQ= 8 5 姨 3 ． 易证 △QHB∽△BOC. ∴ BH OC = BQ BC . ∴BH= 8 3 ， HQ= 16 3 . ∴Q 20 3 ， - 16 3 - . ． ∵C （ 0 ， -2 ）， ∴ 直线 QC 的函数表达式为 y=- 1 2 x-2． 由 1 2 x 2 - 3 2 x-2=- 1 2 x-2 ， 解得 x 1 =2 ， x 2 =0 （舍）， ∴D 点的横坐标为 2． ② 当 ∠CDM=∠CQB=2∠ABC 时， 方法同 ① ， 可确定点 D 的横坐标为 29 11 ． 3. 解： （ 1 ） 已知直线 y=-x+3 经过 B ， C 两点， 令 y＝0 ， 得 x=3 ； 令 x=0 ， 得 y＝3. ∴B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ） . ∵ 点 B ， C 在抛物线 y=-x 2 +bx+c 上 ， 将 B ， C 两点代入可得 -9+3b+c=0 ， c=3 0 . 解得 b=2 ， c=3 0 . ∴ 所求函数表达式为 y=-x 2 +2x+3. （ 2 ） ① 存在 . ∵ 点 P 在 抛物线 y=-x 2 +2x+3 上， 且 PN⊥x 轴， ∴ 设点 P 的坐标为 （ x ， -x 2 +2x+3 ）， 点 N 的坐标 为 （ x ， -x+3 ） . 又 ∵ 点 P 在第一象限 ， ∴PN＝PM-NM＝ （ -x 2 +2x+3 ） - （ -x+3 ） ＝-x 2 +3x＝ - x- 3 2 - . 2 + 9 4 . ∴ 当 x= 3 2 时， 线段 PN 长度的最大值为 9 4 . ② 如图， 由题意知， 点 P 在线段 BC 的垂直平分线上， 又由 ① 知， OB＝OC. ∴BC 的中垂线同时也是 ∠BOC 的平 分线， ∴ 设点 P 的坐标为 （ a ， a ） . 又 ∵ 点 P 在抛物线 y=-x 2 +2x+3 上， 于是有 a=-a 2 +2a+3 ， ∴a 2 -a-3=0. 解得 a 1 = A B C D x y O E F G 图 1 图 2 第 2 题答图 第 1 题答图 O A B C x y M D P 4 P 1 P 3 P 2 Q 4 Q 2 Q 3 Q 1 y A B C D x O M Q H K 第 3 题答图 x y l M N A B P C O P 241