专题7 尺规作图综合题-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 1. 如图， A ， B 两点是公路 l （ l 为东西走向） 两旁的两个村庄， A 点到公路 l 的距离 AC＝ 1 km ， B 点到公路 l 的距离 BD＝2 km ， B 点在 A 点的南偏东 45° 方向上 . （ 1 ） 求出 A ， B 两点之间的距离； （ 2 ） 为方便村民出行， 计划在公路边新建一个公共汽车站 P ， 要求该站到两村的距离相 等， 请用尺规在图中作出点 P 的位置 . （保留清晰的作图痕迹， 并简要写明作法） 2. 如图， 已知 △ABC 中， AB=AC ， ∠A=36°. （ 1 ） 尺规作图： 在 AC 上作一点 P ， 使 BP+PC=AB ， 并说明理由； （保留作图痕迹， 不写 作法） （ 2 ） 在已作的图形中， 连接 PB ， 以点 P 为圆心， PB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 E ， 若 BC=2 ， 求扇形 BPE 的面积 . 3. 如图， 已知在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°. （ 1 ） 作 ∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D. （尺规作图， 不写作法， 保留作图痕迹） （ 2 ） 在 （ 1 ） 所作图形中， 将 Rt△ABC 沿某条直线折叠， 使点 A 与点 D 重合， 折痕 EF 交 AC 于点 E ， 交 AB 于点 F ， 连接 DE ， DF ， 再展回到原图形， 得到四边形 AEDF. ① 试判断四边形 AEDF 的形状， 并证明； ② 若 AC=8 ， CD=4 ， 求四边形 AEDF 的周长和 BD 的长 . A C B 第 3 题图 第 2 题图 A B C A C D B l 第 1 题图 专题 7 尺规作图综合题 130 4. 如图， 在方格纸上建立平面直角坐标系， 线段 AB 的两个端点都在格点上， 直线 MN 经过坐标原点， 且点 M 的坐标是 （ 1 ， 2 ） . （ 1 ） 写出点 A ， B 的坐标； （ 2 ） 求直线 MN 所对应的函数表达式； （ 3 ） 利用尺规作出线段 AB 关于直线 MN 的对称图形 . （保留作图痕迹， 不写作法） 5. 问题探究： （ 1 ） 请在图 1 的正方形 ABCD 内， 画出使 ∠APB=90° 的一个点 P ， 并说明理由 . （ 2 ） 请在图 2 的正方形 ABCD 内 （含边）， 画出使 ∠APB=60° 的所有的点 P ， 并说明 理由 . 问题解决： （ 3 ） 如图 3 ， 一块矩形钢板 ABCD ， AB=4 ， BC=3. 工人师傅想用它裁出两块全等的、 面 积最大的 △APB 和 △CDP′ 钢板， 且 ∠APB=∠CP′D. 请你在图 3 中画出符合要求的点 P 和 P′ ， 并求出 △APB 的面积 . （结果保留根号） xO 1 1 -1 -1 A B y M N 第 4 题图 A B CD A B CD A B CD 图 1 图 2 图 3 第 5 题图 尺规作图综合题 专题 7 131 九年级下册 （北师大版）数学 △BEA. ∴∠1=∠EAB． ∵∠AEB=90° ， BC 是 ⊙O 的切线， ∴∠EAB+∠ABE=90° ， ∠3+∠ABE=90° ， ∴∠3=∠EAB. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴∠2=∠3. ∴CB=CF. （ 2 ） 如图 ， 连接 OE 交 AC 于点 G ， 设 ⊙O 的半径是 r ． 由 （ 1 ） 知 ， △AEF∽△BEA. ∴∠4=∠5． ∴A A E =E A D . ∴OE⊥AD. ∴EG=1 ． ∵cos C= BC AC = 3 5 ， 且 ∠C+∠GAO=90° ， sin∠GAO= BC AC ， ∴sin∠GAO= BC AC = 3 5 . ∴ OG OA = 3 5 ， 即 r-1 r = 3 5 . 解得 r= 5 2 . ∴⊙O 的半径是 5 2 ． 18. 解 ： （ 1 ） 连接 DO． ∵AD∥OC ， ∴∠DAO=∠COB ， ∠ADO=∠COD． 又 ∵OA=OD ， ∴∠DAO=∠ADO. ∴ ∠COD=∠COB． 又 ∵CO=CO ， OD=OB ， ∴△COD≌△COB （ SAS ） . ∴∠CDO=∠CBO=90°． 又 ∵ 点 D 在 ⊙O 上， ∴CD 是 ⊙O 的切线 ． （ 2 ） ∵△COD≌△COB ， ∴CD=CB． ∵DE=2BC ， ∴ED=2CD． ∵AD∥OC ， ∴△EDA∽△ECO. ∴ AD OC = DE CE = 2 3 ． 19. 解： （ 1 ） 连接 OD. ∵AB 为 ⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°. ∴AD⊥BC. ∵AB=AC ， ∴AD 平分 BC ， 即 DB=DC. ∵