专题4 三角形的证明及计算-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 1. 如图 1 ， 在 △ABC 中， AB=AC ， 点 D 是 BC 的中点， 点 E 在 AD 上 . （ 1 ） 求证： BE=CE. （ 2 ） 如图 2 ， 若 BE 的延长线交 AC 于点 F ， 且 BF⊥AC ， 垂足为 F ， ∠BAC=45° ， 原题设其 他条件不变 . 求证： △AEF≌△BCF. 2. 如图， 在 △ABC 中， BD ， CE 是 △ABC 的两条高， 点 F ， M 分别是 DE ， BC 的中点 . 求证： FM⊥DE. 3. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AD 平分 ∠CAB ， 交 CB 于点 D ， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. （ 1 ） 求证： △ACD≌△AED ； （ 2 ） 若 ∠B=30° ， CD=1 ， 求 BD 的长及 △ADB 的面积 . A B C E D A B C E D F 图 1 图 2 第 1 题图 A E F D C M B 第 2 题图 A E B D C 第 3 题图 专题 4 三角形的证明及计算 114 4. 如图， 在 △ABC 中， AB=CB ， ∠ABC=90° ， D 为 AB 的延长线上一点， 点 E 在 BC 边 上， 且 BE=BD ， 连接 AE ， DE ， DC. （ 1 ） 求证： △ABE≌△CBD ； （ 2 ） 若 ∠CAE=30° ， 求 ∠BDC 的度数 . 5. 如图， 点 M 是 △ABC 的边 BC 的中点， AN 平分 ∠BAC ， BN⊥AN 于点 N ， 延长 BN 交 AC 于点 D ， 已知 AB=10 ， BC=15 ， MN=3. （ 1 ） 求证： BN=DN ； （ 2 ） 求 △ABC 的周长 . 6. 如图， 在 △ABC 中， 点 E 在 AB 上， 点 D 在 BC 上， BD=BE ， ∠BAD=∠BCE ， AD 与 CE 相交于点 F ， 试判断 △AFC 的形状， 并说明理由 . 第 4 题图 A B E C D A C D B F E 第 6 题图 第 5 题图 A D N B M C 1 2 三角形的证明及计算 专题 4 115 九年级下册 （北师大版）数学 7. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=BC ， 延长 AB 至点 D ， 使 DB=AB ， 连接 CD ， 以 CD 为直角边作 Rt△CDE ， 使 EC=DC ， ∠DCE=90° ， 连接 BE. （ 1 ） 求证： △ACD≌△BCE ； （ 2 ） 若 AC=3 cm ， 求 BE 的长 . 8. 如图， 在 △ABC 中， AB=BC ， BE⊥AC 于点 E ， AD⊥BC 于点 D ， ∠BAD=45° ， AD 与 BE 交于点 F ， 连接 CF. （ 1 ） 求证： BF=2AE ； （ 2 ） 若 CD= ２ 姨 ， 求 AD 的长 . 9. 如图， 把 Rt△ACB （ ∠ACB=90° ） 绕着顶点 B 顺时针旋转 60° ， 使得点 C 旋转到 AB 边上点 D 的位置， 点 A 旋转到点 E 的位置 . F ， G 分别是 BD ， BE 上的点， BF=BG ， 延长 CF 与 DG 交于点 H. （ 1 ） 求证： CF=DG ； （ 2 ） 求 ∠FHG 的度数 . A C B D E 第 7 题图 A E F B D C 第 8 题图 A C B G H D E F 第 9 题图 116 10. 如图， AB=AC ， CD⊥AB 于点 D ， BE⊥AC 于点 E ， BE 与 CD 相交于点 O. （ 1 ） 求证： AD=AE ； （ 2 ） 连接 OA ， BC ， 试判断直线 OA ， BC 的关系并说明理由 . 11. 如图， 在 Rt△ABC 中， AC=BC ， 点 D 为 △ABC 内一点， ∠CAD＝∠CBD＝15° ， E 为 AD 延长线上的一点， 且 CE＝CA. （ 1 ） 求证： DE 平分 ∠BDC ； （ 2 ） 若点 M 在 DE 上， 且 DC=DM ， 求证： ME=BD. 12. 如图， 在等边 △ABC 中， AO 是 ∠BAC 的平分线， D 为 AO 上一点， 以 CD 为一边且 在 CD 下方作等边 △CDE ， 连接 BE. （ 1 ） 求证： △ACD≌△BCE ； （ 2 ） 延长 BE 至 Q ， P 为 BQ 上一点， 连接 CP ， CQ ， 使 CP=CQ=5 ， 若 BC=8 ， 求 PQ 的长 . A D E C O B 第 10 题图 第 11 题图 C A E M D B A B D O P E Q C