第六章 概率初步自我检测-【新课程能力培养】2023-2024学年七年级下册初中数学同步练习（北师大版）

一、 选择题 （每小题 2 分， 共 12 分） 1. 若事件 A 为不确定事件， 则它发生的可能性是 （ ） A. 1 B. 0 C. 0 与 1 之间 D. 不可知 2. 从一副扑克牌中抽出 5 张红桃、 4 张梅花、 3 张黑桃放在一起洗匀后， 从中一次抽 出 10 张， 恰好红桃、 梅花、 黑桃三种牌都抽到， 这件事情是 （ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 不确定事件 D. 以上都不对 3. 商店举办有奖销售活动， 办法如下： 凡购满 100 元者得奖券一张， 多购多得， 每 10 000 张奖券为一个开奖单位， 设特等奖 1 个， 一等奖 50 个， 二等奖 100 个， 那么买 100 元商品的中奖率应是 （ ） A. 1 10 000 B. 50 10 000 C. 100 1 000 D. 151 10 000 4. 如图， 小涛周末到同学张兵家， 走到十字路口处， 记不清哪条路 通往张兵家， 那么他能一次选对路的概率是 （ ） A. 1 3 B. 1 4 C. 1 2 D. 0 5. 现有 6 个球 （除颜色外都相同）， 娟娟想用它们设计一个游戏， 下面是她设计的四 种答案， 你认为不能成功的是 （ ） A. 摸到黄球、 红球、 白球的概率都是 1 3 B. 摸到黄球的概率是 1 2 ， 摸到红球的概率也是 1 2 C. 摸到黄球的概率是 1 2 ， 摸到红球、 白球的概率都是 1 4 D. 摸到黄球的概率是 1 2 ， 摸到红球的概率是 1 3 ， 摸到白球的概率是 1 6 6. 抢红包游戏有多种玩法， 其中一种为 “拼手气红包”： 用户设定好总金额以及红包 个数后， 可以生成不等金额的红包 ． 现有一用户发了三个 “拼手气红包”， 随机被甲、 乙、 丙三人抢到 ． 下列说法正确的是 （ ） A． 甲、 乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多 张兵家 小涛家 十字 路口 第 4 题图 第六章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 第六章自我检测 161 七年级下册 （北师大版）数学 B． 甲一定抢到金额最多的红包 C． 乙一定抢到金额居中的红包 D． 丙不一定抢到金额最少的红包 二、 填空题 （每空 4 分， 共 36 分） 7. 如图， 现有一个可以自由转动的转盘， 被等分成 8 个扇形， 涂上 几种颜色 . 用飞镖打镖盘， 若击中黄色， 则中一等奖； 击中绿色， 则中二 等奖； 击中橙色， 则中三等奖 . 则： （ 1 ） 中一等奖的概率是 ； （ 2 ） 中二等奖的概率是 ； （ 3 ） 中三等奖的概率是 . 8. 掷一枚均匀的骰子， 出现点数小于 3 的概率是 ， 出现点数不是 6 的概率是 . 9. 星期六， 小颖去奶奶家， 爷爷给她的一串钥匙上有 9 把钥匙 （钥匙的形状大小颜 色相同） . 小颖不知道该用哪一把钥匙打开房门， 于是她随意抽出一把， 则小颖恰好能打 开房门的概率是 . 10. 4 个红球、 m 个白球 （球除颜色外都相同） 装在同一不透明袋中， 从中任意摸一 个是红球的概率是 2 5 ， 则 m 可能为 . 11. 如图所示， 大长方形的长为 5 m ， 宽为 3 m ， 阴影部分中的小长方形甲的长为 1.5 m ， 宽为 1 m. 小鸟任意落下， 它落在阴影部分的概率是 . 12. 已知一包糖果共有 5 种颜色 （糖果只有颜色差别）， 如图是这包糖果分布百分比的 统计图， 在这包糖果中任意取一粒， 则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 . 三、 解答题 （ 13 题 7 分， 14~16 题每小题 8 分， 17 题 10 分， 18 题 11 分， 共 52 分） 13. 一个小妹妹将 10 盒蔬菜的标签全部撕掉了 . 现在每一个盒子看上去都一样， 但是 她知道有三盒玉米、 两盒菠菜、 四盒豆角、 一盒土豆， 她随机地拿出一盒打开 . 求： （ 1 ） 盒子里是玉米的概率是多少？ （ 2 ） 盒子里是豆角的概率是多少？ （ 3 ） 盒子里是菠菜或土豆的概率是多少？ 蓝 绿 橙 红 白 黄 粉 橙 第 7 题图 第 11 题图 红色 15% 黄色 20% 绿色 30% 棕色 ？ 橙色 15% 第 12 题图 乙 甲 162 14. 小平家里的阳台地面， 水平铺设着黑白颜色不同的 18 块方砖 （如图所示）， 她从 房间里向阳台抛小皮球， 小皮球最终随机停留在某块方砖上 . （ 1 ） 求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率 . （ 2 ） 上述哪个概率较大？ 要使这两个概率相等， 地砖的颜色应该怎样改变？ 15. 小丽和小慧都想去海洋公园玩， 可只有一张门票， 妈妈帮她们想了一个方法： 用 一个均匀的正方体， 6 个面上分别标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 5. 任意掷出这个正方体， 若朝上 的数字是偶数， 则小丽去， 否则小慧去 . 你认为妈妈的方法公平吗？ 若不公平， 请你帮着 修改一下规则， 使其对双方都公平 . 16. 有一个玩转盘游戏， 其游戏规则规定： 如图， 游戏开始前甲、 乙双方各选定一个 转盘 （指针可以自由转动）， 然后双方转动自己转盘上的指针， 指针停止后， 落在白色区 域为胜者 . 小明认为哪个转盘都有可能转到白色区域， 所以随便选哪个转盘都一样， 你同 意他的想法吗？ 你认为两转盘的指针停在白色区域的概率一样吗？ 概率分别是多少？ 第 14 题图 120° 60° 乙甲 第 16 题图 第六章自我检测 163 七年级下册 （北师大版）数学 17. 如图所示， 转盘被等分成 6 个扇形， 在每个扇形内分别标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6. （ 1 ） 若自由转动转盘， 当它停止转动时， 求指针指向奇数的概率； （ 2 ） 请你用这个转盘设计一个游戏规则， 要求当自由转动的转盘停止时， 指针指向 的区域的概率为 1 3 . 18. 小明和小亮两位同学做投掷骰子 （质地均匀的正方体） 试验， 他们共做了 100 次 试验， 试验的结果如下： （ 1 ） 计算 “ 2 点朝上” 的频率和 “ 4 点朝上” 的频率 . （ 2 ） 小明说： “根据试验， 一次试验中出现 3 点朝上的概率最大 . ” 小亮说： “如果投 掷 1 000 次， 那么出现 5 点朝上的次数正好是 200 次 ． ” 小明和小亮的说法正确吗？ 为什么？ （ 3 ） 小明投掷一枚骰子， 计算小明投掷点数不小于 3 的概率 ． 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 14 15 23 16 20 12 1 2 3 4 5 6 第 17 题图 164 参考答案与提示 （ 3 ） 当 x=10 时， y=15×10+30=180 （万元） . 12． （ 1 ） 5 km ， 8 km ， 8 km ， 10 km. （ 2 ） 8 km. （ 3 ） 14 km. （ 4 ） 9 时 20 分， 11 时， 11 时 30 分， 12 时 13． （ 1 ） 甲先出发， 8:00 时， 先出发 1 h. （ 2 ） 乙是 9:00 时出发的， 13 km. （ 3 ） 乙的速度快 . （ 4 ） 12 时两人最终相遇， 甲的平均速度是 10 km/h ， 乙的平均速度是 40 3 km/h. （ 5 ） 答案不唯一， 如行至 11:00 时甲加快了速度， 此时的速度为 20 km/h. １４. （ 1 ） y=30x+70 ； 当 x=12 时， y 值为 430. （ ２ ） z=2 （ x-2 ）（ x+5 ）； 当 x=15 时， z=520. 第四章自我检测 1. C 2. B 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. B 9. 35° 10. 14 cm 或 16 cm 11. SAS 12. 答案不唯一， 如 ∠C=∠E 或 AB=FD 或 AD=FB. 13. 4 或 5 或 6 或 7 或 8 或 9 或 10 14. 90° 15. 270° 16. 如图 ， △ABC 即为所求 . 17. （ 1 ） △ABC 是锐角三角形 . 理由： 因为 ∠BAC+∠C+∠B=180° ， 所以 ∠BAC=180°-∠B-∠C. 因为 ∠B=44° ， ∠C=72° . 所以 ∠BAC=64°. 所以 △ABC 是锐角三角形 . （ 2 ） 因为 AD 平分 ∠BAC ， 所以 ∠DAC=32°. 在 △ACD 中， 因为 ∠DAC+∠C+∠ADC=180° ， 所以 ∠ADC=180°-∠DAC-∠C=76°. 18. （ 1 ） 全等 . 理由 ： 因为 AB=CD ， BC=AD ， AC=CA ， 所以 △ABC≌△CDA. （ 2 ） △AOE≌△COF. 理由 ： 因为 △ABC≌△CDA ， 所以 ∠FCO=∠EAO. 又因为 AO＝CO ， ∠COF=∠AOE ， 所以 △AOE≌△COF. 19. 答案不唯一 . 例如： 如图， 过点 B 作 AB 的垂线 BF ， 在 BF 上取两 点 C ， D ， 使 CD=BC ， 再作出 BF 的垂线 DE ， 且 A ， C ， E 在一条直线上， 根据 “角边 角条件” 可知： △EDC≌△ABC. 因此： DE=AB. 即测出 DE 的长就是 A ， B 之间的距离 （如图） . 20. （ 1 ） 在 △ACD 和 △BCE 中， 因为 ∠ACB=60° ， ∠DCE=60° ， 所以 ∠ACD= 180°-∠ACB=120° ， ∠BCE=180°-∠DCE=120° . 所以 ∠ACD=∠BCE. 又因为 AC=BC ， CD=CE ， 所以 △ACD≌△BCE. 所以 AD=BE. （ 2 ） AD=BE. 在 △ACD 和 △BCE 中， 因 为 ∠ACB=∠DCE ， 所以 ∠ACD=∠ECD +∠ACE ， ∠BCE=∠ACB+∠ACE. 所以 ∠ACD=∠BCE. 又因为 BC=AC ， CD=CE ， 所以 △ACD≌△BCE. 所以 AD=BE. 第五章自我检测 1． C 2． B 3． D 4． B 5． B 6． 答案不唯一， 如任意三角形 等腰三角形 长方形 正方形 7． 等腰三角 形、 正方形、 正七边形、 菱形 8． 85° 9． 90° 10． 10° 11. 3 １２． ３０ 13． 略 14． ∠BAD=∠CBD=∠ABD=36° ， ∠ABC=∠C=∠BDC=72° ， ∠ADB=108°. 15． 略 16． （ 1 ） ① 都是轴对称图形； ② 面积都等于四个小正方形的面积之和 . （ ２ ） 答案不唯一， 例如： 17． 提示： 如图， 作点 P 关于 OA 的对称点 P′ ， 作点 Q 关于 OB 的对称点 Q′ ， 连接 P′Q′ 分别与 OA ， OB 交于点 M ， N ， 则点 M ， N 即为所求 . 18. 连接 OE ， OF. 因为 △ABC 是等边三角形， OB ， OC 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线， 所以 ∠OBC=∠OCB=30°. 因为 ME 是 OB 的中垂线 ， 所以 OE=BE ， 所以 ∠BOE=∠OBE=∠ABO ， 所以 OE∥AB. 所以 ∠OEF=∠ABC=60°. 同理： OF=FC ， ∠OFE=60°. 所以 △OEF 为等边三角形 . 所以 OE=EF= OF. 所以 BE=EF=FC. 19． 因为折叠 ， 所以 △ADE 与 △A′DE 关于 ED 成轴对称 ， 所以 ∠AED=∠A′ED ， 即 ∠AEA′=2∠AED. 所以 ∠1=180°-∠AE A′=180°-2∠AED. 同理 ∠2= 180°-2∠ADE ， 所以 ∠1+∠2=360°-2 （ ∠AED+∠ADE ） . 又因为 ∠A+∠AED+∠ADE=180° ， 所以 ∠AED+∠ADE=180°-∠A. 所以 ∠1+∠2=360°-2 （ 180°-∠A ） . 所以 2∠A=∠1+∠2. 第六章自我检测 1. C 2. A 3. D 4. A 5. C 6. D 7. （ 1 ） 1 8 （ 2 ） 1 8 （ 3 ） 1 4 ８. 1 3 5 6 ９. 1 9 10. 6 1１. 17 30 １２． 1 2 1３. （ 1 ） P （盒子里是玉米） = 3 10 . （ 2 ） P （盒子里是豆角） = 2 5 . （ 3 ） P （盒子里是菠菜或土豆） = 3 10 . 1４. （ 1 ） P （小皮球停留在黑色方砖上） = 4 9 ， P （小皮球停留在白色方砖上） = 5 9 . （ 2 ） 小皮球停留在白色方砖上 的概率大 . 答案不唯一， 将一块白色地砖涂黑即可 . 1５. 因为 P （朝上的数字是偶数） = 2 6 = 1 3 ， P （朝上的数字是奇 第 17 题答图 P′ A P Q N Q′ B O M A D F E B C 第 19 题答图 第 16 题答图 第 16 题答图 C B A a 2a α 187 七年级下册 （北师大版）数学 数） = 2 3 ， 1 3 < 2 3 ， 所以不公平 . 修改的规则： 若朝上的数字大于 3 ， 则小丽去； 若朝上的数字不大于 3 ， 则小慧 去 . 1６. 不同意小明的想法 . 两个转盘的指针停在白色区域上的概率是不一样的， P （转盘甲的指针停在白色区域） = 1 3 ； P （转盘乙的指针停在白色区域） = 1 6 . １７． （ 1 ） 由题意得， 转盘被分成 6 个扇形， 每个扇形内分别标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 其中 1 ， 3 ， 5 是奇数， 共有 3 个， 所以 P （指针指向奇数） = 3 6 = 1 2 . （ 2 ） 方法不唯一， 方法 1 ： 自由转动转盘， 当它停止转动时， 指针所指的区域的数字能被 3 整除； 因为 6 个数字中能被 3 整除的数只有 3 和 6 ， 所以 P （指针指向的数字能被 3 整除） = 2 6 = 1 3 . 方法 2 ： 自由转动转盘， 当它停止转动时， 指针所指的区域 的数字是平方数； 因为 6 个数字中是完全平方数的只有 1 和 4 ， 所以 P （指针指向的数字是平方数） = 2 6 = 1 3 . 18. （ 1 ） “ 2 点朝上” 的频率为 15 100 =0.15 ； “ 4 点朝上” 的频率为 16 100 =0.16. （ 2 ） 小明的说法是错误的 . 因为只 有当试验的次数足够大时， 该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近 . 小亮的说法是错误的 . 因为事件发生具 有随机性 . （ 3 ） P （不小于 3 ） = 4 6 = 2 3 ． 期 末 检 测 1. D 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C 7. D 8. A 9. D 10. A 11． 小 12． 2.1×10 -7 13． 5 8 14． 垂线段最 短 15． 70° 16． Q＝100-8x 或 Q+8x＝100 17． ①②③ 18． 1 或 3 或 4 19. 解： （ 1 ） 原式 ＝2x 6 +x 2 -2x 6 ＝x 2 ． （ 2 ） 原 式 ＝1+9-6＝4． 20． 解： 原式 ＝ ［ x 2 -4y 2 - （ x 2 -4xy+4y 2 ）］ ÷4y＝ （ x 2 -4y 2 -x 2 +4xy-4y 2 ） ÷4y＝ （ 4xy-8y 2 ） ÷4y＝x-2y. 当 x＝2 ， y= 1 2 时， 原式 ＝2-2× 1 2 ＝2-1＝1． 21． 两直线平行， 内错角相等 ∠D 同位角相等， 两直线平行 两直线平行， 同位角 相等 等量代换 22. 解： 转盘被等分成 8 个扇形， 其中有 2 个是红色， 3 个是绿色， 3 个是黄色 ． （ 1 ） 因为指针 指向绿色扇形的结果有 3 种， 则 P （指针指向绿色扇形） = 3 8 ． （ 2 ） 指针指向绿色扇形的概率大 ． 理由： 由题意得 指针指向红色扇形的结果有 2 种， 则 P （指针指向红色扇形） = 2 8 . 因为 2 8 ＜ 3 8 ， 所以指针指向绿色扇形的概率大 ． 23． （ 1 ） 1.5 3 4 （ 2 ） ①20 ② 2 15 h 或 1.9 h 24. 解： （ 1 ） 5 624 （ 2 ） 答案不唯一， 如 31×39 （ 3 ） ① 10a+b 10a+ （ 10-b ） ② 理由如下 ： （ 10a+b ）（ 10a+10-b ） ＝100a 2 +100a-10ab+ 10ab+10b-b 2 ＝100a （ a+1 ） +b （ 10-b ）， 故上述阅读材料的速算方法是正确的 ． 25． 解： （ 1 ） ① 如图 1 所示 . ② 如图 1 所示 . （ 2 ） 如图 2 ， 过点 C 作 CM⊥AD 于点 M ， 过点 D 作 DN⊥AB 于点 N ， 由作图， 知 AG=DG. 因为 S △ACG = 1 2 · AG · CM ， S △CDG = 1 2 · DG · CM ， S △ACG =4.5 ， 所以 S △CDG =S △ACG =4.5. 所以 S △ACD =S △CDG +S △ACG =9. 因为 ∠ACB=90° ， AC=6 ， 所以 CD=3. 由作图可知， AD 是 ∠BAC 的平分线， 所 以 DN=CD=3 ， 即点 D 到直线 AB 的距离为 3. 所以 S △ABD = 1 2 · AB · DN=15. 所以 S △ABC =S △ACD +S △ABD =9+15=24. 26. 解 ： （ 1 ） ∠CBE=∠CAD. 理由 ： 因为 AB= AC ， BD=CD ， 所以 AD⊥BC. 所以 ∠ADB=90°. 因为 BE⊥AC ， 所以 ∠AEB=90°. 在 △AEF 和 △BDF 中， ∠CAD+∠AFE=∠CBE+∠BFD=90° ， ∠AFE=∠BFD ， 所 以 ∠CBE=∠CAD. （ 2 ） ① 因为 CG∥EF ， 所以 ∠P=∠G ， ∠DBP=∠DCG. 在 △DBP 和 △DCG 中， 因为 ∠P=∠G ， ∠DBP=∠DCG ， BD=CD ， 所以 △DBP≌ △DCG （ ASA ） . 所以 BP=CG. 所以 PE= BE+BP ， 即 PE=BE+CG. ②1.5 或 4.5 F E C D G A B 图 1 第 25 题答图 图 2 F E C D G A B M N 188