第六章 概率初步-【新课程能力培养】2023-2024学年七年级下册初中数学同步练习（北师大版）

概 率 初 步 第六章 自主导学 典例精析 例题 下列事件中， 哪些是确定事件？ 哪些是随机事件？ （ 1 ） 抛掷一枚硬币， 正面朝上； （ 2 ） 打开电视， 正在播放广告； （ 3 ） 任意画一个三角 形， 其内角和是 360° ； （ 4 ） 袋中只有 4 个球， 且都是红球， 任意摸出一球是红球； （ 5 ） 抛 掷一枚均匀的骰子， 朝向的点数大于 7. 【分析】 根据确定事件和随机事件的概念即可判断 ． 【解答】 （ 1 ） 抛掷一枚硬币， 有可能是正面朝上， 也可能是反面朝上， 所以该事件是随 机事件； （ 2 ） 电视播放的节目类别很多， 打开电视不一定正在播放广告， 所以它是随机事件； （ 3 ） 因为任意一个三角形的内角和都等于 180° ， 所以这是不可能事件， 即为确定事件； （ 4 ） 袋中只有 4 个红球， 摸出的球一定是红球， 所以它是必然事件， 即为确定事件； （ 5 ） 抛掷一枚 均匀的骰子， 点数朝向有可能结果共 6 种， 即 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 朝向的点数小于 7 ， 所以 该事件是不可能事件， 即为确定事件 ． 【点拨】 考查运用确定事件和随机事件的概念对一些事件进行判断， 正确理解必然事件、 不可能事件、 确定事件以及随机事件 （不确定事件） 的概念是解决这类问题的关键 . 频 率 稳 定 于 概 率 附 近 事件发生的概率 确定事件 概 率 初 步 必然事件→发生概率为 1 不可能事件→发生概率为 0 不确定 （随机） 事件→ 等可能事件概率 理论概率 试验概率→用频率估计 古典概型 几何概型 不确定事件 发生的频率 意义 性质→稳定性 （试验次数很大时频率在某一个常数附近摆动） 转化 概 率 初 步第六章 知识网络 1 感受可能性 121 七年级下册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 下列各事件中： ① 打开电视机， 正在播放新闻； ② 今天是星期四， 明天是星期五； ③ 检查流水线上的一件产品， 是合格品； ④ 在一个装着红球的箱子里， 任意摸出一球是白球； ⑤ 将油滴在水里， 油会浮在水面上 . 其中 是必然事件， 是不可能事件， 是不确定事件 . （填序号） 2. 任意翻一张日历， 翻出 12 月 10 日是 事件， 翻出 2 月 30 日是 事件 . 3. 一个袋中装有 15 个黄球、 10 个红球、 5 个白球， 任意摸出一个球， 摸到 的 可能性最小 . 4. 从一副扑克牌中任意抽取一张， 抽到 “ K ” 的可能性比抽到 “王” 的可能性 . 5. 小明任意买一张电影票， 座位号是偶数与座位号是 3 的倍数， 其中可能性较大的 是 . 6. 某中学七年三班 50 人参加数学考试， 其中 45 人及格， 任意抽取一张试卷， 抽出可能 性较小的是 的试卷 . 7. 如图所示， 有 5 只口袋， 每袋中各装有 10 个相同 （除颜色外） 的球 . 现从每袋中任取 一个球， 那么摸到白色球的可能性从小到大的排列为 . 8. 下列事件： ① 某电影院某天的上座率超过 60% ； ② 一个标准大气压下， 水烧到 100 ℃ 沸腾； ③ 明天会下雨； ④ 叔叔买彩票会中奖 . 其中是随机事件的有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 在一个布袋中装有红、 白两种颜色的小球， 它们除颜色外没有任何其他区别 ． 其中红球若 干， 白球 5 个， 袋中的球已搅匀 ． 若从袋中随机取出 1 个球， 取出红球的可能性大， 则红球的个 数是 （ ） A． 4 个 B． 5 个 C． 不足 4 个 D． 6 个或 6 个以上 10. 如图， 甲、 乙是两个可以自由转动的转盘 （甲、 乙转盘都是五等 份） . 如果想让指针停在白色区域， 则下列说法正确的是 （ ） A. 甲的可能性大 B. 乙的可能性大 C. 甲、 乙的可能性相同 D. 与指针的速度有关 11. 下列说法正确的是 （ ） A. 可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生 B. 可能性很小的事件在一次试验中有可能发生 4 个红球 6 个白球 ① 6 个红球 4 个白球 ② 9 个红球 1 个白球 ③ 1 个红球 9 个白球 ④ 0 个红球 10 个白球 ⑤ 第 7 题图 甲 乙 第 10 题图 122 概 率 初 步 第六章 C. 可能性很大的事件在一次试验中一定会发生 D. 不可能事件在一次试验中也可能发生 能力提升 综合拓展 12. 100 个产品中有 10 个是次品， 从中随意取出 1 个： （ 1 ） 取出的产品可能是次品吗？ 为什么？ （ 2 ） 取出的产品为正品的可能性大， 还是为次品的可能性大？ 为什么？ （ 3 ） 如果从这 100 个产品中随意取出 10 个， 在这 10 个产品中， 是 “正品数量多” 这一 事件的可能性大， 还是 “次品数量多” 这一事件的可能性大？ 为什么？ 13. 比较下列随机事件发生的可能性大小， 并说明理由 ． （ 1 ） 如图， 转动一个能自由转动的转盘， 指针指向阴影区域和指向白色区域 . （ 2 ） 小明和小亮做掷硬币的游戏， 他们商定： 将一枚硬币掷两次， 如果两次朝上的面相 同， 那么小明获胜； 如果两次朝上的面不同， 那么小亮获胜 ． 谁获胜的可能性大？ 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·武汉） 掷两枚质地均匀的骰子， 下列事件是随机事件的是 （ ） A． 点数的和为 1 B． 点数的和为 6 C． 点数的和大于 12 D． 点数的和小于 13 15． （ 2023 ·贵州） 在学校科技宣传活动中， 某科技活动小组将 3 个标有 “北斗”、 2 个标 有 “天眼”、 5 个标有 “高铁” 的小球 （除标记外其他都相同） 放入盒中， 小红从盒中随机 摸出 1 个小球， 并对小球标记的内容进行介绍， 下列叙述正确的是 （ ） A． 摸出 “北斗” 小球的可能性最大 B． 摸出 “天眼” 小球的可能性最大 C． 摸出 “高铁” 小球的可能性最大 D． 摸出三种小球的可能性相同 第 13 题图 123 七年级下册 （北师大版）数学 16． （ 2023 ·河北） 有 7 张扑克牌如图所示， 将其打乱顺序后， 背面 朝上放在桌面上， 若从中随机抽取一张， 则抽到的花色可能性最大的是 （ ） A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块） 自主导学 典例精析 例题 甲、 乙两位同学做抛骰子 （均匀正方体形状） 试验， 他们共抛了 600 次， 出现向 上点数的次数如下表： （ 1 ） 请将表格补充完整 . （结果精确到 0.01 ） （ 2 ） 丙说： “由表格知抛 600 次骰子， 出现向上点数为 6 的次数是 100 次 ， 那么抛 6 000 次骰子， 出现向上点数为 6 的次数一定是 1 000 次 ． ” 请判断丙的说法是否正确， 并 说明理由 ． 【分析】 （ 1 ） 根据频率 = 点数向上次数 抛掷的总次数 ， 将表格的具体数据代入可填写表格； （ 2 ） 依 据随机试验的特点分析得出 . 【解答】 （ 1 ） 填写表格如下： 0.13 0.16 0.12 0.15 0.27 0.17 （ 2 ） 丙的说法不正 确 . 理由如下： 在随机试验中， 频数和频率有随机性， 但当试验次数较大时， 向上点数为 6 的频率可能稳定于 0.17 或 1 6 6 " 附近 . 因为试验结果是随机的， 并不能说明每抛 6 次就一定有 一次是点数 6 向上， 所以丙的说法不正确 . 【点拨】 本题考查对频率意义的理解， 明确试验的结果是随机的， 但当试验次数足够大 时， 事件发生的频率具有稳定性 . 基础巩固 达标闯关 1. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、 白两种球共 40 个， 小英做摸球试验， 她将盒子里面的球搅匀后， 从中随机摸出一个球记下颜色， 再把它放回盒子中， 不断重复上 2 频率的稳定性 （第 1课时） 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 80 98 70 90 160 100 点数向上的频率 6 4 3 7 K 9 A A 第 16 题图 124 概 率 初 步 第六章 述过程 . 下表是试验中的一组统计数据 . （ 1 ） 完成上表 . （频率的计算结果精确到 0.001 ） （ 2 ） 根据上表绘制频率折线统计图 . （ 3 ） 观察上面的折线统计图， 摸到白球的频率的变化有什么规律？ 2. 小明选择一家酒店订春节团圆饭 ． 他借助网络评价， 选择了 A ， B ， C 三家酒店， 对 每家酒店随机选择 1 000 条网络评价统计如下： （ 1 ） 求 x 的值 . （ 2 ） 当客户给出评价不低于四星时， 称客户获得良好用餐体验 . ① 请你为小明从 A ， B ， C 中推荐一家酒店， 使得能获得良好用餐体验的可能性最大 ． 写 出你推荐的结果， 并说明理由 ． ② 如果小明选择了你推荐的酒店， 是否一定能够享受到良好的用餐体验？ 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数 m 65 124 178 302 481 599 1 803 摸到白球的频率 m n 五星 四星 三星及三星以下 合计 A 412 388 x 1 000 B 420 390 190 1 000 C 405 375 220 1 000 酒店 评价条数等级 125 七年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 3. （ 2023 ·郑州） 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验， 整理的试验数据如下表： 下面有三个推断： ① 通过上述试验的结果， 可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ② 第 2 000 次试验的结果一定是 “盖面朝上”； ③ 随着试验次数的增加， “盖面朝上” 的概率接近 0.53． 其中正确的是 ． （填序号） 自主导学 典例精析 例题 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、 白两种球共 40 个， 小李做摸 球试验， 他将盒子里面的球搅匀， 从中随机摸出一个球记下它的颜色， 再把它放回盒子中， 不断重复上述过程， 下表是试验中的一组统计数据： （ 1 ） 请估计： 当试验次数为 5 000 次时， 摸到白球的频率 . （结果精确到 0.1 ） （ 2 ） 假如你摸一次， 摸到白球的概率是多少？ （ 3 ） 试着估计这个不透明的盒子里黑球有多少个 . 【分析】 （ 1 ） 根据表格中频率的变化趋势即可估计 . （ 2 ） 依据频率与概率的关系即可 估计概率的值 . （ 3 ） 白球个数 = 球的总数 × 摸到白球的概率， 球的总数减去白球的个数即为 黑球的个数 ． 【解答】 （ 1 ） 根据表格中的频率的变化趋势， 当试验次数为 5 000 次时， 估计摸到白球 的频率为 0.6. （ 2 ） 因为摸到白球的频率为 0.6 ， 依据事件发生的频率与概率之间的关系， 估 计摸到白球的概率 P （白球） =0.6． （ 3 ） 估计盒子里黑球有 40× （ 1-0.6 ） =16 （个） ． 所以估计这个 不透明的盒子里黑球约有 16 个 . 摸球的次数 n 100 200 300 500 3 000 摸到白球的次数 m 63 124 178 302 1 803 摸到白球的频率 m n 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 800 481 0.601 1 000 599 0.599 累计抛掷次数 50 300 3 000 5 000 盖面朝上次数 28 158 1 587 2 650 盖面朝上频率 0.560 0 0.526 7 0.529 0 0.530 0 100 54 0.540 0 200 106 0.530 0 500 264 0.528 0 1 000 2 000 527 1 056 0.527 0 0.528 0 2 频率的稳定性 （第 2课时） 126 概 率 初 步 第六章 【点拨】 本题考查了利用频率估计概率 . 理解频率与概率的关系是解题的关键 . 频率与概 率既有密切的联系又有本质的差别 . 概率是随机事件的本质属性， 而频率是随机事件在试验 中的统计结果， 当大量重复试验时， 随机事件发生的频率在某个数值附近摆动， 并且摆动的 幅度越来越小， 因此， 频率具有稳定性， 根据频率稳定性， 可以用频率的集中趋势来估计概 率， 这个固定的近似值就是这个事件发生的概率 ． 用频率估计概率得到的是近似值 . 基础巩固 达标闯关 1. 某小组做 “用频率估计概率” 的试验时， 绘出的某一结果 出现的频率折线图如图， 则符合这一结果的试验可能是 （ ） A． 抛一枚硬币， 出现正面朝上 B． 掷一个正六面体的骰子， 出现 3 点朝上 C． 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后， 从中任抽一张牌的花色 是红桃 D． 从一个装有 2 个红球、 1 个黑球的袋子中任取一球， 取到的是黑球 2. 一个口袋中有 9 个红球和若干个白球， 在不允许将球倒出来数的前提下， 小明采用如 下的方法估算其中白球的个数： 从口袋中随机摸出一球， 记下颜色， 然后把它放回口袋中， 摇匀后再随机摸出一球， 记下颜色……小明重复上述过程共摸了 100 次， 其中 40 次摸到白 球 . 请回答： （ 1 ） 口袋中的白球约有多少个？ （ 2 ） 有一个游乐场， 要按照上述红球、 白球的比例配置彩球池， 若彩球池里共有 1 200 个球， 问需要准备多少个红球 . 能力提升 综合拓展 3. 袋子中有 2 个红球、 3 个绿球和 4 个蓝球， 它们只有颜色上的区别， 从袋子中随机地 取出一个球， 取出每种颜色的球的概率会相等吗？ 如果相等， 猜想概率是多少 . 如果不相等， 那么取出哪种颜色的球的概率最大？ 你怎样改变各色球的数目可以使抽出每种颜色的球的概 率都相等？ 频率 次数 100 200 300 0.4 0.3 0.2 0.1 0 第 1 题图 127 七年级下册 （北师大版）数学 4. 王强与李刚两名同学在学习 “频率与概率” 时， 做抛骰子 （ 6 个面分别写有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的均匀正方体） 试验， 他们共抛了 54 次， 骰子向上一面数字出现的次数如下表： （ 1 ） 计算上表中各数字向上的频率； （计算结果精确到 0.000 1 ） （ 2 ） 王强说： “根据试验， 一次试验中出现向上数字为 5 的概率最大 . ” 李刚说： “如果抛 540 次， 那么出现向上数字为 6 的次数正好是 100 次 . ” 请判断王强和李刚说法的对错， 并说明理由 . 中考链接 真题演练 5. （ 2023 ·扬州） 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下表： 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到 0.01 ） ． 6. （ 2023 ·泰州） 在相同条件下的多次重复试验中， 一个随机事件发生的频率为 f ， 该事件 的概率为 P． 下列说法正确的是 （ ） A． 试验次数越多， f 越大 B． f 与 P 都可能发生变化 C． 试验次数越多， f 越接近于 P D． 当试验次数很大时， f 在 P 附近摆动， 并趋于稳定 自主导学 典例精析 例题 小军旅行箱的密码是一个六位数， 由于他忘记了密码的末位数字， 求小军能一 次打开该旅行箱的概率 . 【分析】 共有 10 种等可能的结果， 小军能一次打开该旅行箱的情况只有 1 种， 直接利用 概率公式求解即可 ． 骰子向上一面数字 1 2 3 4 5 6 出现的次数 6 9 5 8 16 10 频率 3 等可能事件的概率 （第 1课时） 每批粒数 n 2 50 3 000 发芽的频数 m 2 44 2 794 发芽的频率 m n （精确到 0.001 ） 1.000 0.880 0.931 5 4 0.800 10 9 0.900 100 92 0.920 500 1 000 463 928 0.926 0.928 1 500 1 396 0.931 2 000 1 866 0.933 128 概 率 初 步 第六章 【解答】 末位数字所有的可能的结果有 10 种， 即 0~9 的数字， 每种结果出现的可能性相 同， 其中小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况， 所以 P （小军能一次打开该旅行箱） = 1 10 ． 【点拨】 此题考查简单随机事件发生的概率的计算 ． 明确事件发生的可能结果共有多少 种， 以及所求事件发生的可能结果有几种是解题的关键 . 此外， 理解应用概率公式的前提条 件是随机试验所有出现的结果发生的可能性是相同的 . 基础巩固 达标闯关 1. 一个不透明的袋中装有 6 个红球、 4 个黄球、 2 个蓝球， 每个球除颜色外完全相同， 从袋中任意摸出一球， 则摸到黄球的概率是 . 2. 一副扑克牌 （除花色外都相同）， 将它们的正面朝下洗匀后放在桌上， 小明从中抽出 一张， 则抽到花色是方块的概率是 . 3. 小芳抛一枚硬币 10 次， 有 7 次正面朝上， 当她抛第 11 次时， 正面朝上的概率为 . 4. 某班有 56 名学生， 座位号是从 1~56 ， 问其中一名学生， 他的座位号不小于 28 的概 率是 . 5. 鞋柜里有 6 双鞋， 任取一只恰是左脚穿的概率为 . 6. 如果从小军等 10 名大学生中任选 1 名作为环保志愿者， 那么小军被选中的概率是 （ ） A. 1 B. 1 11 C. 1 10 D. 1 9 7. 五张卡片正面分别画有等边三角形、 平行四边形、 长方形、 等腰梯形、 正六边形， 卡 片除正面图形不同外， 其他完全相同， 将这五张卡片任意摆放且有图形的一面朝下， 从中任 意翻开一张， 其中图形是轴对称图形的概率是 （ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 能力提升 综合拓展 8. 一个不透明的袋子中装有 6 个完全相同的小球， 小球上分别标注自然数 4~9 ， 从袋中 任意摸出一球， 求下列事件的概率 . （ 1 ） 小球上数字为奇数； （ 2 ） 小球上的数字为 3 的倍数； （ 3 ） 小球上的数字大于 4 且小于 9. 129 七年级下册 （北师大版）数学 9. 已知线段 a ， b 的长分别为 3 cm ， 4 cm ， 如果从长度分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 6 cm ， 7 cm 的五条线段中， 任意取一条线段 c ， 求下列事件的概率 . （ 1 ） a ， b 与 c 三条线段能构成三角形； （ 2 ） a ， b 与 c 三条线段能构成等腰三角形 . 10. 小丽和爸爸都喜欢打乒乓球 . 一个星期日， 爸爸拿着装有除颜色外都相同的 6 个白 色和 5 个黄色乒乓球的口袋， 让小丽摸球， 并说： “你答对下面的几个问题， 我们就可以玩 球了 . ” （ 1 ） 如果你第一次摸出白球后又放回袋中， 那么第二次摸到白球的概率是多少？ （ 2 ） 如果你第一次摸出黄球后不放回， 那么第二次又摸到黄球的概率是多少？ （ 3 ） 如果你第一次摸出黄球后不放回， 第二次摸出白球又不放回， 那么第三次摸到白球 的概率是多少？ * 11. 小红、 小明都喜欢看电影 《哈利·波特》， 但是电影票只有一张， 你能设计一个游 戏， 帮助他们公平地分配这张电影票吗？ 可供选择的工具有两组： ①1 个红球、 1 个黄球 （两球除颜色外完全相同）、 1 个不透明的布袋； ② 一枚硬币， 任选一组工具设计你的游戏 . 130 概 率 初 步 第六章 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·深圳） 小明从 《红星照耀中国》 《红岩》 《长征》 《钢铁是怎样炼成的》 四 本书中随机挑选一本， 其中拿到 《红星照耀中国》 这本书的概率为 ． 13. （ 2023 ·广西） 某班开展 “梦想未来 青春有我” 主题班会， 第一小组有 2 位男同学 和 3 位女同学， 现从中随机抽取 1 位同学分享个人感悟， 则抽到男同学的概率是 ． 14. （ 2023 ·金华） 如表为某中学统计的七年级 500 名学生体重达标情况 （单位： 人）， 在 该年级随机抽取一名学生， 该生体重 “标准” 的概率是 . 15. （ 2023 ·抚顺） 在一个不透明的袋子中装有 6 个白球和 14 个红球， 这些球除颜色外无 其他差别， 随机从袋子中摸出一个球， 则摸到白球的概率为 （ ） A． 1 3 B． 3 7 C． 3 10 D. 7 10 16. （ 2023 ·成都） 为贯彻教育部 《大中小学劳动教育指导纲要 （试行）》 文件精神， 某学 校积极开设种植类劳动教育课 ． 某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目， 老师提供 6 张背面完全相同的卡片， 其中蔬菜类有 4 张， 正面分别印有白菜、 辣椒、 豇豆、 茄子图案； 水果类有 2 张， 正面分别印有草莓、 西瓜图案， 每个图案对应该种植项目 ． 把这 6 张卡片背面朝上洗匀， 小明随机抽取一张， 他恰好抽中水果类卡片的概率是 （ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D. 1 6 自主导学 典例精析 例题 小玲在一次班会中参与知识竞赛活动， 现有语文题 6 道， 数学题 5 道， 综合题 9 道， 小玲从这些题目中随机抽取 1 道， 求小玲抽中数学题的概率 . 【分析】 先求出竞赛题目的总数， 然后利用概率公式即可求解 ． 【解答】 因为此次班会知识竞赛题目共有 （ 6+5+9 ） 道， 即 20 道， 所以小玲从这些题目 中随机抽取 1 道的结果共有 20 种， 且抽取每个题目的可能性是相同的， 其中抽到数学题的 可能结果有 5 种， 所以 P （抽中数学题） = 5 20 = 1 4 . 【点拨】 此题考查简单随机事件发生的概率的计算 ． 明确事件中所有可能的结果共有多 少种， 所求事件发生的可能结果共有多少种是解题的关键 . 3 等可能事件的概率 （第 2课时） “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 131 七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 1. 一箱灯泡有 24 个， 合格率为 90% ， 从中任意拿一个是次品的概率为 . 2. 小明和三名女生、 四名男生一起玩丢手帕游戏， 小明随意将手帕丢在一名同学的后 面， 那么这名同学是女生的概率为 . 3. 中国象棋文化历史久远 ． 在图中所示的部分棋盘中， “馬” 的 位置在 “﹣﹣﹣” （图中虚线） 的下方， “馬” 移动一次能够到达的 所有位置已用 “ ● ” 标记， 则 “馬” 随机移动一次， 到达的位置在 “﹣﹣﹣” 上方的概率是 ． 4. 现有红、 白、 黑三种除颜色外完全相同的球若干个， 请你利用 9 个球设计摸球游戏， 使其分别满足下列条件： （ 1 ） 摸到红球、 白球、 黑球的概率相等； （ 2 ） 摸到红球与摸到黑球的概率相等； （ 3 ） 摸到红球的概率为 2 3 . 能力提升 综合拓展 5. 将正面分别标有数字 6 ， 7 ， 8 ， 背面花色相同的三张卡片洗匀后， 背面朝上放在桌面上 . （ 1 ） 随机地抽取一张， 求正面标记的数字是偶数的概率 . （ 2 ） 随机抽取一张作为个位上的数字 （不放回）， 再抽取一张作为十位上的数字， 能组 成哪些两位数？ 恰好为 “ 68 ” 的概率是多少？ 将 士 馬卒 炮 第 3 题图 132 概 率 初 步 第六章 6. 小颖和小刚做游戏， 规则是小颖从编号 1～10 的十张卡片中任意抽取一张， 若号码能 被 3 整除， 则小颖获胜； 小颖抽出的号码放回后， 小刚从中任意抽取一张， 若号码数除以 3 余 1 （包括 1 ）， 则小刚获胜 . 请问该游戏公平吗？ 若不公平， 应该如何添加卡片 （添加卡片 上的编号与原来卡片上的编号不同） 才能使游戏公平？ 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·锦州） 在一个不透明的盒子中装有若干个红球和 5 个黑球， 这些球除颜色外 均相同 . 经过多次摸球试验后发现， 摸到黑球的频率稳定在 0.25 左右， 则盒子中红球的个数 约为 ． 8. （ 2023 ·济南） 围棋起源于中国， 棋子分黑白两色 ． 一个不透明的盒子中装有 3 个黑色 棋子和若干个白色棋子， 每个棋子除颜色外都相同， 任意摸出一个棋子， 摸到黑色棋子的概 率是 1 4 ， 则盒中棋子的总个数是 ． 9. （ 2023 ·杭州） 一个仅装有球的不透明布袋里只有 6 个红球和 n 个白球 （仅有颜色不 同） ． 若从中任意摸出一个球是红球的概率为 2 5 ， 则 n= ． 10. （ 2022 ·广元） 一个袋子中装有 a 个红球， 10 个黄球， b 个白球， 每个球除颜色外都相 同， 任意摸出一个球， 摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， 那么 a 与 b 的关系是 ． 11. （ 2022 ·兰州） 无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂， 广泛应用于检验溶液酸碱性， 通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色， 遇中性溶液也不变色， 遇碱溶液变红色 ． 现有 5 瓶缺 失标签的无色液体： 蒸馏水、 白醋溶液、 食用碱溶液、 柠檬水溶液、 火碱溶液， 将酚酞试剂 滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是 （ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 12. （ 2021 ·徐州） 甲、 乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干， 这些糖果除颜 色外无其他差别 ． 具体情况如下表所示： 若小明从甲、 乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果， 则他从甲袋比从乙袋 （ ） A． 摸到红色糖果的概率大 B． 摸到红色糖果的概率小 C． 摸到黄色糖果的概率大 D． 摸到黄色糖果的概率小 糖果袋子 红色 黄色 绿色 总计 甲袋 2 颗 2 颗 1 颗 5 颗 乙袋 4 颗 2 颗 4 颗 10 颗 133 七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 小球在如图所示的地板上自由滚动， 并随机地停留在某块方砖上， 每一块方砖除颜色外完全相同， 求小球最终停留在黑色方砖上的概率 ． 【分析】 根据可转化为古典概型的几何概型的概率计算方法求解： 先求出方 砖的总块数， 再求出黑色的方砖的块数， 然后利用公式即可求解 ． 【解答】 由图知地板方砖共有 9 块， 其中黑色的方砖有 4 块， 每一块方砖除颜色外完全 相同， 因为小球随机地停留在某块方砖上， 它停留在任何一块方砖的概率相等， 所以， P （小 球最终停留在黑色方砖上） = 4 9 ． 【点拨】 本题考查可转化为古典概型的几何概型的概率计算 . 一般地， 求概率的方法有两 种， 方法 1 ： 所求事件 （ A ） 所有可能结果组成图形的面积除以所有可能结果组成的图形的 面积即为事件 （ A ） 发生的概率。 方法 2 ： 因为几何概型问题中所有可能结果的图形形状、 大小都是相等的 （全等形）， 如果把每个结果的图形面积看成一个事件， 那么几何概型的问 题就转化为古典概型的概率问题， 即用古典概型的概率计算方法 . 特别注意本节研究的概率 问题都是可化为古典概型的几何概型的概率问题 . 基础巩固 达标闯关 1. 一只小鸟自由地在空中飞行， 然后随意落在如图所示的某个方格内 （每个方格除颜色 外完全一样）， 则小鸟落在黑色方格中的概率是 . 2. 数学课上， 小明做了一个可以自由转动的转盘， 他把一个圆周分成八个相等的扇形， 每一个扇形上分别写上了相应的数字 （如图）， 当他自由转动转盘时， 则 P （指针落在数字 3 的扇形内） = ； P （指针落在数字 2 的倍数的扇形内） = ； P （指针落在大于数 字 9 的扇形内） = ； P （指针落在小于数字 6 的扇形内） = . 3. 如图， 小区公园里有一块圆形地面被黑、 白石子铺成了面积相等的八部分， 阴影 部分是黑色石子， 小华随意向其内部抛一个沙袋， 则沙袋落在黑色石子区域内的概率是 . 例题图 3 等可能事件的概率 （第 3课时） 1 2 3 7 6 4 8 5 第 2 题图 第 3 题图第 1 题图 134 概 率 初 步 第六章 4. 如图， 共有 12 个大小相同的小正方形， 其中阴影部分的 5 个小正方 形是一个正方体的表面展开图的一部分， 现从其余的小正方形中任取一个涂 上阴影， 能构成这个正方体的表面展开图的概率是 （ ） A. 4 7 B. 3 7 C. 2 7 D. 1 7 5. 如图， A ， B 是数轴上两点， 在线段 AB 上任取一点 C ， 则点 C 到表示 -1 的点的距离不大于 2 的概率是 （ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 6. 如图， 水平放置的甲、 乙两区域分别由若干大小完全相同的 黑色、 白色正三角形组成 . 小明随意向甲、 乙两个区域各抛一个小 球， P （甲）表示小球停在甲中黑色三角形上的概率， P （乙）表示小球 停在乙中黑色三角形上的概率， 下列说法正确的是 （ ） A. P （甲） >P （乙） B. P （甲） =P （乙） C. P （甲） <P （乙） D. P （甲）与 P （乙）的大小关系无法确定 能力提升 综合拓展 7. 某商店为了吸引顾客， 设计了一个可以自由转动的转盘， 并规定顾客消费 100 元以上 （含 100 元） 就能获得一次转动转盘的机会， 如果转盘停止后， 指针正好对准九折、 八折、 七折、 五折区域， 顾客可以获得此待遇 （转盘等分 16 份） . （ 1 ） 甲顾客消费 99 元， 是否可以获得转动转盘的机会？ （ 2 ） 乙顾客消费 120 元， 获得打折的概率是多少？ 获得五折的概率又是多少？ 8. 如图所示的方格地面上， 标有编号 1 ， 2 ， 3 的 3 个小方格地面是空地， 另外 6 个小方 格地面是草坪， 除此以外小方格完全相同 . （ 1 ） 一只自由飞行的小鸟， 随意地落在图中所示的方格地面上， 求小鸟落在草坪上的概率 . （ 2 ） 现准备从图中所示的 3 个小方格空地中任意选取 2 个种植草坪， 则编号为 1 ， 2 的 2 个小方格空地种植草坪的概率是多少？ 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 甲 乙 A -3 -2 -1 0 1 2 B 九折 五 折 九 折 八折 八 折 七 折 第 7 题图 1 2 3 第 8 题图 135 七年级下册 （北师大版）数学 * 9. 如图 1 是中国象棋棋盘的一部分， 图中红方有两个马， 黑方有三个卒和一个炮， 按 照中国象棋中马的行走规则 （马走 “日” 字， 例如： 按图 2 中的箭头方向走）， 红方的马现 在任意走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？ 中考链接 真题演练 10. （ 2022 ·铁岭） 如图， 一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成 ． 向游戏板随 机投掷一枚飞镖 （每次飞镖均落在纸板上）， 击中阴影区域的概率是 ． 11. （ 2023 ·本溪） 如图， 等边三角形 ABC 是由 9 个大小相等的等边三角形构成， 随机地 往 △ABC 内投一粒米， 落在阴影区域的概率为 ． 12. （ 2023 ·苏州） 如图， 转盘中四个扇形的面积都相等， 任意转动这个转盘一次， 当转 盘停止转动时， 指针落在灰色区域的概率是 （ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 13. （ 2022 ·通辽） 如图， 正方形 ABCD 及其内切圆 O ， 随机地向正方形内投一粒米， 落 在阴影部分的概率是 （ ） A． 仔 ４ B． １- 仔 ４ C． 仔 8 D． 1- 仔 8 14. （ 2021 ·常州） 以下转盘分别被分成 2 个， 4 个， 5 个， 6 个面积相等的扇形， 任意转 动这 4 个转盘各 1 次 ． 已知某转盘停止转动时， 指针落在阴影区域的概率是 1 3 ， 则对应的转 盘是 （ ） 卒 卒 卒 炮 马 马 马 第 9 题图 图 1 图 2 第 13 题图第 11 题图第 10 题图 第 12 题图 A B C D B O A D C A B C 白色 白色 灰色 灰色 136 概 率 初 步 第六章 自主导学 典例精析 例题 如图， 一个可以自由转动的正六边形转盘， 其中三个等边三角 形涂有阴影 ． 转动指针， 指针落在有阴影的区域内的概率为 a ； 如果投掷一 枚均匀的硬币， 正面向上的概率为 b． 请判断 a ， b 的大小关系， 并说明理由 . 【分析】 利用概率公式分别求出 a 和 b ， 再进行比较 . 【解答】 a=b. 理由如下： 因为正六边形被分成相等的 6 份， 且指针落在每个区域的可能 性是相同的， 其中阴影部分占 3 份， 所以 P （指针落在有阴影的区域内） = 3 6 = 1 2 ， 即 a= 1 2 ； 因为投掷一枚均匀的硬币， 出现所有可能的结果共 2 种， 且每种结果都是相同的， 其中正面 向上的结果有 1 种， 所以 P （正面向上） = 1 2 ， 即 b= 1 2 ， 所以 a=b. 【点拨】 本题综合考查了古典概型和几何概型的概率计算， 解题的关键是利用概率公式 求出 a ， b 的值 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 一只蚂蚁自由自在地在用七巧板拼成的正方形中爬来爬去 （每块七巧板的表面 完全相同）， 它最终停留在 1 号七巧板上的概率是 . 2. 如图， 有三个同心圆， 由里向外的半径依次是 2 cm ， 4 cm ， 6 cm ， 将圆盘分为三部 分， 飞镖可以随机落在任何一部分内， 那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 . 3. 如图， 正方形 ABCD 内接于 ⊙O ， ⊙O 的面积为 2仔 dm 2 ， 正方形的边长为 2 dm ， 若 在这个圆面上随意抛一粒豆子， 则豆子落在正方形 ABCD 内的概率是 （ ） A. ２ 仔 B. 仔 ２ C. １ ２仔 D. 2 姨 仔 4. 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 有如图所示的 A ， B 两点， 在格点中任意放置 点 C ， 恰好能使 △ABC 的面积为 1 的概率为 （ ） A. ３ ２５ B. ４ ２５ C. １ ５ D. ６ ２５ 例题图 3 等可能事件的概率 （第 4课时） 1 2 3 A B O A B D C 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 137 七年级下册 （北师大版）数学 5. 某商场为了促销开展抽奖活动， 让顾客转动一次转盘， 当转盘停止后， 只有指针指向 阴影区域时， 顾客才能获得奖品， 下列有四个大小相同的转盘可供选择， 使顾客获得奖品概 率最大的是 （ ） 能力提升 综合拓展 6. 小伟家房子的居住面积为 90 m 2 ， 格局为二室一厅， 其中客厅面积是 32 m 2 ， 爸爸妈 妈的卧室面积是 20 m 2 ， 小伟的卧室面积是 16 m 2 ， 厨房的面积是 14 m 2 ， 其余面积是卫生间 . 小伟家有一只小猫， 它把妈妈的毛线团随意叼到了某一房间里， 那么毛线团在哪个房间的概 率最大？ 在哪个房间的概率最小？ 都是多少？ 毛线团在小伟卧室的概率又是多少？ 7. 如图， 转盘被等分成 6 个扇形， 在每个扇形内分别标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6. （ 1 ） 若自由转动转盘， 当它停止转动时， 指针指向偶数区的概率是多少？ （ 2 ） 请你用这个转盘设计一个游戏， 使自由转动的转盘停止时， 指针停止在指向区域的概 率为 2 3 . 120° 60° 60° 60° 90° 90° 72°72° A B C D 1 2 3 6 4 5 第 7 题图 138 概 率 初 步 第六章 8. 图 1 是一个寻宝游戏的示意图， 宝物被随意地藏在某块方砖下 . （ 1 ） 那么它藏在阴影区域的概率是多少？ （ 2 ） 请你在图 2 中设计一种地砖图案， 使得宝物藏在阴影部分的概率是 5 8 ， 且要求你设 计的图案是轴对称图形 . 9. 有一种挖宝游戏， 有一宝藏被随意藏在如图 1 所示的圆形区域内 . （圆形被分成八 等份） （ 1 ） 假如你去寻找宝藏， 你会选择哪个区域 （区域 1 、 区域 2 、 区域 3 ）？ 为什么？ 在此 区域一定能够找到宝藏吗？ （ 2 ） 如果埋宝藏的区域如图 2 （图中每个方块完全相同）， （ 1 ）的结果又会怎样？ 10. 如图为一个封闭的圆形装置， 整个装置内部为 A ， B ， C 三个区域 （ A ， B 两区域为 圆环， C 区域为小圆）， 具体数据如图 ． （ 1 ） 求出 A ， B ， C 三个区域的面积： S A ＝ ， S B ＝ ， S C ＝ . （ 2 ） 随机往装置内扔一粒豆子， 多次重复试验， 豆子落在 C 区域的概率 P C 为多少？ （ 3 ） 随机往装置内扔 180 粒豆子， 请问大约有多少粒豆子落在 A 区域 . 第 9 题图 1 2 3 1 2 3 图 1 图 2 图 1 图 2 第 8 题图 第 10 题图 A B C 2cm2cm2cm 139 七年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 11. （ 2021 ·苏州） 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动， 并随机停 留在某块地砖上， 每块地砖的大小、 质地完全相同， 那么该小球停留在黑色区 域的概率是 ． 12. （ 2023 ·连云港） 如图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形 组成的图形， 在这个图形内任取一点 P ， 则点 P 落在阴影部分的概率为 （ ） A． 5 8 B． 13 50 C． 13 32 D． 5 16 13. （ 2023 ·遂宁） 为增强班级凝聚力， 吴老师组织开展了一 次主题班会 ． 班会上， 他设计了一个如图的飞镖靶盘， 靶盘由两 个同心圆构成， 小圆半径为 10 cm ， 大圆半径为 20 cm ， 每个扇 形的圆心角为 60°． 如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的， 那么 小全同学任意投掷飞镖一次 （击中边界或没有击中靶盘， 则重投 一次）， 投中 “免一次作业” 的概率是 （ ） A． 1 6 B． 1 8 C． 1 10 D． 1 12 14. （ 2020 ·邵阳） 如图 1 所示， 平整的地面上有一个不规则图案 （图中阴影部分）， 小明 想了解该图案的面积是多少， 他采取了以下办法： 用一个长为 5 m ， 宽为 4 m 的长方形， 将 不规则图案围起来， 然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球， 并记录小球落在不规则图 案上的次数 （球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）， 他将若干次有效试验的结果绘 制成了如图 2 所示的折线统计图， 由此他估计不规则图案的面积大约为 （ ） A． 6 m 2 B． 7 m 2 C． 8 m 2 D． 9 m 2 第 11 题图 实验次数 小球落在不规则图案内的频率 120 180 240 300 360 42060 0.4 0.35 0.3 图 2图 1 第 14 题图 第 12 题图 O 与老师合影 送一个 小蛋糕 与老师共进晚餐 与老师共进晚餐 送一本 笔记本 送一支 钢笔 送一本 书 免一次 作业 第 13 题图 140 七年级下册 （北师大版）数学 12. 如图所示 * 13. 先竖着从两边剪下两个 “ U ” 字 （每个 “ U ” 字 6 个方格）， 中间剩余一个 “ H ” 形轴对称图形 （有 12 个方格）， 然后将剩下的 “ H ” 图形， 沿水平对称轴剪开， 就得到四块形状大小完全相同的轴对称图案了 . * 14. 至少两条 . 在折叠后纸片上画的图形本身是轴对称图形即可增加对称轴 . 15. 如图所示： 第六章 概 率 初 步 1 感受可能性 1. ②⑤ ④ ①③ 2. 不确定或随机 不可能或确定 3. 白球 4. 大 5. 买到座位号是偶数 6. 不及格 7. ③②①④⑤ 8. C 9. D 10. C 11. B 12. （ 1 ） 可能 . 理由： 由于 100 个产品中， 既含有正品， 也含有次品， 因 此， 取出的产品可能是次品 . （ 2 ） 正品的可能性大 . 理由： 由于 100 个产品中， 10 个是次品， 则有 90 个是正 品， 因此， 取出的产品为正品的可能性大 . （ 3 ） “正品数量多” 这一事件的可能性大 ． 理由： 由 （ 2 ） 中可知， 100 个产品中， 正品的数量大于次品的数量， 因此， 从中取出 10 个产品， 在这 10 个产品中， “正品数量多” 这 一事件的可能性大 ． 13. （ 1 ） 指向阴影区域的可能性小， 指向白色区域的可能性大 . 理由： 因为白色区域的面积 比阴影区域的面积大， 所以指针指向阴影区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小 . （ 2 ） 两人获胜的可能 性一样 ． 理由： 将一枚硬币掷两次， 有 （正， 正）， （正， 反）， （反， 反）， （反， 正） 4 种情况， 两次朝上的面 相同的有 2 种， 两次朝上的面不同的有 2 种， 所以两人获胜的可能性一样 ． 14. B 15. C 16. B 2 频率的稳定性 （第 1 课时） 1． （ 1 ） 0.650 0.620 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （ 2 ） 折线统计图略 . （ 3 ） 当试验次数很大时， 摸 到白球的频率会在 0.6 附近摆动， 即摸到白球的频率具有稳定性 . 2. （ 1 ） x＝1 000-412-388＝200 （条） . （ 2 ） ① 选择 A 酒店获得良好用餐体验的可能性为 800 1 000 ＝0.8 ， 选择 B 酒店获得良好用餐体验的可能性为 420+390 1 000 ＝0.81 ， 选择 C 酒店获得良好用餐体验的可能性为 405+375 1 000 ＝0.78 ， 因为 0.81＞0.8＞0.78 ， 所以选择 B 酒店获得良好用餐体 验的可能性最大 ． ② 不一定 . 因为可能性只能说明享受到良好用餐体验的可能性大， 但不一定能够享受到良好用 餐体验， 所以小明不一定能享受到良好的用餐体验 . ３． ①③ 2 频率的稳定性 （第 2 课时） 1. D 2. （ 1 ） 设口袋中有白球为 x 个， 根据题意， 得 x= （ x+9 ）· 40%. 解得 x=6. 所以小明估计口袋中的白球有 6 个 . （ 2 ） 1 200× 100-40 100 =720 （个） . 答： 需准备大约 720 个红球 . 3. 不相等， 取出蓝球的可能性最大， 答案不 唯一， 可以再向袋子中装 2 个红球、 1 个绿球 . 4. （ 1 ） 0.111 1 0.166 7 0.092 6 0.148 1 0.296 3 0.185 2 （ 2 ） 因为掷一次骰子出现点数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 向上的情况具有等可能性， 所以王强的说法不对； 虽然投掷 54 次出现点数 6 向上的频率是 0.185 2 ， 但频率不等于概率， 因为掷一次骰子， 点数 6 向上的概率都是 1 6 ， 所以李 刚的说法也不正确 . 两人都忽略了试验次数很大时， 事件发生的频率才逐渐稳定于概率附近， 此时我们才能用试 验频率来估计事件发生的概率 . 5. 0.93 6. D 第 11 题答图 第 15 题答图 N B A （ M ） C Q A （ P ） E B A （ D ） C F 图 1 图 2 图 3 第 12 题答图 184 参考答案与提示 3 等可能事件的概率 （第 1 课时） 1. 1 3 2. 13 54 3. 1 2 4. 29 56 5. 1 2 6. C 7． D 8. 从袋中任意摸出一球， 所有可能的结果有 6 种， 即摸 出的小球上标注的数字分别是 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 因为小球完全相同， 所以每种结果出现的可能性相等 . （ 1 ） 摸出的小球上标注的数字为奇数的结果只有 3 种， 即标注的数字是 5 ， 7 ， 9 ， 所以 P （摸出的小球上的数字为奇 数） ＝ 3 6 = 1 2 . （ 2 ） 摸出的小球上标注的数字是 3 的倍数的结果只有 2 种， 即标注的数字是 6 ， 9 ， 所以 P （摸出的 小球上的数字为 3 的倍数） ＝ 2 6 = 1 3 . （ 3 ） 摸出的小球上标注的数字大于 4 且小于 9 的结果只有 4 种， 即标注的 数字是 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 所以 P （摸出的小球上的数字大于 4 且小于 9 ） ＝ ４ 6 = 2 3 . 9. 从长度分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 6 cm ， 7 cm 的五条线段中， 任意取一条线段， 有五种可能结果， 即 a ， b 与 c 三条线段的组合有 5 种， 每 种结果出现的可能性是相同的 . （ 1 ） a ， b 与 c 三条线段的组合能构成三角形的只有 4 种， 分别为 3 cm ， 4 cm ， 3 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 4 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 6 cm ， 所以 P （ a ， b 与 c 三条线段能构成三角形 ） = 4 5 . （ 2 ） a ， b 与 c 三条线段的组合能构成等腰三角形的只有 2 种， 分别为 3 cm ， 4 cm ， 3 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 4 cm ， 所以 P （ a ， b 与 c 三条线段能构成等腰三角形） = 2 5 . 10. （ 1 ） 6 11 . （ 2 ） 2 5 . （ 3 ） 5 9 . * 11． 利用第 ① 组工具设 计游戏： 将 2 个小球放入袋中搅匀， 第一个人摸球记录下颜色后放回搅匀， 第二个人摸球， 记录下颜色， 当两个 人摸球颜色相同时放回， 当两个人摸球颜色不同时， 以摸到红球者为胜， 得到电影票 . 利用第 ② 组工具设计游戏： 两人各掷硬币一次， 当两人所掷硬币是同一面时再掷， 至两人所掷硬币不同面时， 以掷出正面者为胜， 得到电影 票 . １２． 1 4 13. 2 5 14. 7 10 15. C 16. B 3 等可能事件的概率 （第 2 课时） 1． 1 10 2. 3 7 3. 1 4 4. （ 1 ） 红球、 白球、 黑球各 3 个 . （ 2 ） 红球与黑球数量相等即可 . （ 3 ） 红球的个 数是 6 ， 其余 3 个球的黑白颜色不限 . 5． 正面标记的数字有 3 种可能结果， 即为 6 ， 7 ， 8 ， 且抽出每张卡片的可 能性相同 . （ 1 ） 抽出的卡片正面数字是偶数的有 2 种， 所以 P （正面标记的数字是偶数） = 2 3 . （ 2 ） 随机抽取 一 张 作 为 个 位 上 的 数 字 （ 不 放 回 ） ， 再 抽 取 一 张 作 为 十 位 上 的 数 字 ， 所 有 的 结 果 共 有 6 种 ， 即 67 ， 68 ， 76 ， 78 ， 86 ， 87 ， 所以 P （恰好为 “ 68 ”） = 1 6 . 6. 该游戏不公平 . 小颖抽到的卡片的号码数能被 3 整除的 可能情况有 3 ， 6 ， 9 ， 获胜的概率为 3 10 ， 小刚抽到的号码数除以 3 余 1 的可能情况有 1 ， 4 ， 7 ， 10 ， 因此获胜的 概率为 2 5 ， 若使游戏公平应添加两张卡片， 其号码数分别为 11 ， 12 ， 此时获胜的可能性都是 1 3 . 7. 15 8. 12 9. 9 10. a+b=10 11. B 12. C 3 等可能事件的概率 （第 3 课时） 1. 3 5 2. 1 8 1 2 0 5 8 3. 1 2 4. A 5. D 6. B 7. （ 1 ） 不能 . （ 2 ） P （获得打折） = 3 8 ， P （获得打五折） = 1 16 . 8. （ 1 ） P （小鸟落在草坪上） = 6 9 ＝ 2 3 . （ 2 ） 从标有编号 1 ， 2 ， 3 的小方格空地中任意取两块的可能结果有 （编号 1 ， 编号 2 ）， （编号 1 ， 编号 3 ）， （编号 2 ， 编号 3 ）， 所以 P （编号为 1 ， 2 的 2 个小方格空地种植草坪） = 1 3 . * 9. 红方的马走一步可能的走法有 14 种， 每种走法均可以自由行走， 其中有 3 种情况能吃到黑方棋子， 则 红方的马现在任意走一步能吃到黑方棋子的概率是 3 14 ． 10. 1 3 １１． 5 9 １２. C 1３． B 14． D 3 等可能事件的概率 （第 4 课时） 1. 1 4 2. 1 3 3. A 4. D 5. C 6. 客厅最大， 16 45 ； 卫生间最小， 4 45 ； 8 45 . 7. （ 1 ） 1 2 . （ 2 ） 方法不 唯一， 如自由转动转盘， 当它停止时， 指针指向的数字不小于 3 的区域的概率是 2 3 . 8. （ 1 ） P （藏在阴影区域） ＝ 185 七年级下册 （北师大版）数学 3 16 . （ 2 ） 只要阴影部分占总面积的 62.5% ， 且是轴对称图形， 即符合题意 . 9. （ 1 ） 会选择区域 3. 区域 1 和区 域 2 的概率都是 1 4 ， 区域 3 的概率是 1 2 ， 所以藏在区域 3 的可能性大 . 在此区域也不一定能够找到宝藏， 因为藏 在区域 3 的概率是 1 2 ， 不是 1． （ 2 ） 如果埋宝藏的区域如图 2 （图中每个方块完全相同）， 与 （ 1 ） 的结果完全相 同 ． 10. （ 1 ） 20π cm 2 12π cm 2 4π cm 2 提示： S C ＝π · 2 2 ＝4π （ cm 2 ）， S B ＝π · 4 2 -π · 2 2 ＝12π （ cm 2 ）， S A ＝π · 6 2 -π · 4 2 ＝20π （ cm 2 ） . （ 2 ） 豆子落在 C 区域的概率 P C = 4π 20π+12π+4π ＝ 1 9 . （ 3 ） 根据题意， 得 180× 20π 4π+12π+20π ＝100 （粒） . 答： 大约有 100 粒豆子落在 A 区域 ． 11. 2 9 12. B 1３． B 14． B 第一章自我检测 1. D 2. B 3. C 4. B 5. D 6. C 7. 7 8. 3 9. 2 10. 2a 5 11. 1 12. （ 2n-1 ） 13. 5 050 14. （ 1 ） 144a 14 b 10 （ 2 ） 1 （ 3 ） -9x 2 +6x-1 （ 4 ） 12x-40 15. 原式 =y-x=0 16. 7 17. m=2 ， n=1 18. -2 19. 2.7× 10 12 ÷ （ 13×10 8 ） ≈2 077 （ m 3 ） 答： 我国人均拥有 2 077 m 3 的淡水 . 20. （ 2b+c+2m ）（ a+2m ） = （ 2ab+4bm +ac+2mc+ 2ma+4m 2 ） （ cm 2 ） 21. 答案不唯一， 将 L 形花坛分割为长 h 和宽为 m 的两个长方形 . 可以测出长度为 h 的长方 形的宽 n ， 此时面积 S= hn+ （ a-n ） m=hn+am-mn ； 也可测出宽度为 m 的长方形的长 n ， 则面积 S=h （ a-n ） +mn=ah- nh+mn. 22． （ 1 ） 设原价为 x ， 则 “跳楼价” 为 2.5x · 0.7×0.7×0.7 ， 所以 “跳楼价” 占原价的百分比为 2.5x · 0.7 3 ÷x= 85.75%. （ 2 ） 原价出售 ： 销售金额 =100x ， 新价出售 ： 销售金额 =2.5x · 0.7×10＋2.5x · 0.7 2 ×40＋2.5x · 0.7 3 ×50= 109.375x ， 因为 109.375x＞100x ， 所以新方案销售赢利更多 . 23. （ 1 ） m-n. （ 2 ）（ m-n ） 2 或（ m+n ） 2 -4mn. （ 3 ）（ m+ n ） 2 = （ m-n ） 2 +4mn 或（ m-n ） 2 = （ m+n ） 2 -4mn. （ 4 ） 29. 第二章自我检测 1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. D 7. 140° 8. 20° 9. 答案不唯一， 如 ∠ADB= ∠DBC ， ∠FAD=∠FBC ， ∠BAD+∠FBC=180°. 10. ∠CMG ， ∠AMG ∠BMN ， ∠DMN ∠AMN ， ∠CMN 11. 40° 12. 50° 13. 如图所示 . 14. 5 （ α-70° ） =90°-65° ， 解得 α=75°. 所以 ∠α 的补角 =180°-75°=105°. 15. 平行 . 因为 ∠1=∠2 ， 所以 DE∥FG. 又因为 AC∥ FG ， 所以 AC∥DE. 16. 因为 AD 平分 ∠BAC ， 所以 ∠2＝∠BAD. 又因为 ∠1＝∠2 ， 所以 ∠1＝∠BAD. 所以 AD∥EG. 所以 ∠G＝∠2. 所以 ∠G＝∠1. 17. ∠A+∠ACE+∠E=360°. 理 由： 过 C 点作射线 CP∥AB ， 所以 ∠A+∠ACP=180°. 又因为 AB∥EF ， 所以 CP∥EF. 所以 ∠PCE+∠E=180° ， 所以 ∠A+∠ACP+∠PCE+∠E=360°. 所以 ∠A+∠ACE+∠E=360°. 18. 不能 . 添加的条件不唯一， 只要合理即可 . 可以添加的条件有 AD∥EF 或 ∠2=∠DAC． 说明 AD∥EF 的理由： 因为 AD∥EF ， 所以 ∠2＝∠CAD. 因为 ∠1＝∠2 ， 所以 ∠CAD＝∠1. 所以 AC∥DG. 19. BF∥DE. 理由： 如图， 因为 ∠3=∠4 ， 所以 BD∥CF. 所以 ∠5=∠BAF. 又因为 ∠5=∠6 ， 所以 ∠BAF=∠6. 所以 AB∥CD. 所以 ∠2=∠EHA. 又因为 ∠1=∠2 ， 即 ∠1=∠EHA ， 所以 FB∥ED． 20. （ 1 ） 如图 1 ， 过点 P 作 PQ∥AE ， 所以 ∠E+∠EPQ=180°. 因为 AE∥ CF ， 所以 PQ∥CF. 所以 ∠F+∠FPQ=180° . 所以 ∠F+∠FPQ=∠E+ ∠EPQ. 因 为 ∠EPQ =∠FPQ +∠EPF ， 所 以 ∠F +∠FPQ =∠FPQ + ∠EPF+∠E. 所以 ∠F=∠EPF+∠E. （ 2 ） 如图 2 ， 过点 G 作 LG∥ EB ， 所以 ∠E=∠LGE. 所以 ∠LGF=∠EGF-∠LGE. 因为 ∠F=∠EGF- ∠E ， 所以 ∠LGF=∠F. 所以 LG∥FC. 所以 EB∥FC. （ 3 ） 由 （ 1 ） 知 ∠A+∠B=∠ANF ， ∠C+∠D=∠EMD. 因为 EB∥FC ， 所以 ∠ANF+ ∠EMD=180°. 所以 ∠A+∠B+∠C+∠D=180°. 第三章自我检测 1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. B 7. V=30h 30 300 8. （ 1 ） 轮船 2 （ 2 ） 4 80 （ 3 ） 20 40 （ 4 ） 4 40 （ 5 ） s=20t 9. 4 700 5 400 6 100 6 800 7 500 8 200 10. （ 1 ） 弹簧的长度 y 与所挂重物的质 量 x 之间关系， x 是自变量， y 是因变量 . （ 2 ） y=18+2x. （ 3 ） 18 cm ， 36 cm 11． （ 1 ） y=15x+30. （ 2 ） 用表格表示 如下： B A D C 第 13 题答图 Q P E A C F E B M C D N F L G S A 图 1 图 2 第 20 题 答图 x/ 年 0 1 2 3 6 y/ 万元 30 45 60 75 120 4 5 90 105 186