精品解析：河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试题

2024学年焦作市博爱一中高三（下）开学摸底考试 数　　学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分条件但不必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 2. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知直三棱柱，，，点为棱的中点，则四棱雉外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 5. 已知直线与圆相交于两点，点为圆上一动点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，，则（ ） A 有最大值 B. 有最小值 C. 随的增大而增大 D. 随的增大而减小 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 对于任意实数，表示为不超过极大整数，如，，（ ） A. 若时，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 图象的一条对称轴方程为 B. 图象的一个对称中心为 C. 将曲线上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 矩形的面积为 D. 双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上的最大值为，若函数有个零点，则实数的取值范围为__________． 13. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为________． 14. 已知直线与圆相交于两点，且，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对边分别为，. （1）求角； （2）若为钝角三角形，且，求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：； （2）求二面角平面角的余弦值. 17. 杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）. （1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值； （2）当取到最大值时，求的值. 18. 已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程. 19. 某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）． （1）求X，Y的分布列； （2）求； （3）若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．） 第1页/共1页 学科网（北