精品解析：浙江省丽水市第二高级中学2023-2024学年高三下学期开学检测数学试卷

2024年浙江省丽水第二高级中学高三第二学期开学检测试卷（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的焦点在直线上，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 3. 设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间中三个不同的平面，且直线分别在平面上．设甲：两两平行；乙：两两平行，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6. 设圆,直线与圆O交于两点，若直角三角形，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：长轴与短轴长分别为与椭圆围成区域的面积为．现要切割加工一个底面半径为1、高为2的圆柱形零件（如图所示），截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为．然后再对切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 有最大值 D. 是增函数 10. 设是等比数列的前n项和，q为的公比，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. 若，则存在使得 D. 若存在使得，则 11. 在正方形中，设D是正方形的内部的点构成的集合，，则集合表示的平面区域可能是（ ） A. 四边形区域 B. 五边形区域 C. 六边形区域 D. 八边形区域 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中x项系数为___________． 13. 下列论断中：①；②；③；④；⑤．以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：___________（作答时，请按“序号序号”的格式书写）． 14. 在如下数表中： 其中，第1行为1，从第2行开始，每一行的左右两端都为1，而中间的数为前一行相邻两个数之和再加1．则第10行的第3个数为___________;当时，第n行的各个数之和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点， （1）求的方程； （2）若l过点，求. 16. 在一次知识闯关比赛预选赛中，包含三个问题，有两种答题方案． 方案一：回答三个问题，至少答出两个问题即可晋级： 方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，这两个问题都回答正确即可晋级． 假设某参赛选手回答出三个问题的概率分别是，且是否回答出这三个问题相互之间没有影响． （1）分别求该参赛选手用方案一和方案二时能晋级的概率； （2）试比较该参赛选手在上述两种方案下能晋级的概率的大小．（说明理由） 17. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若有正的零点，证明：有极小值点，且极小值点位于区间． 18. 在凸四边形中，记，四边形的面积为S．已知． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）若，求四边形面积最大值． 19. 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为． 两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W． （1）设,四元数．记表示的共轭四元数． （i）计算； （ii）若，求； （iii）若，证明：； （2）在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设． （i）证明：;