专题09 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型（模拟+真题）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题9 圆锥曲线的第三定义与斜率是定值模型 1.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3、（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4、（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆  过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 取最小值时，椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6.已知过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，点A在第一象限，过点A作AD⊥x轴交椭圆于点D，点E在线段AD上，且满足，连接BE并延长交椭圆于点P，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 8．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）已知点，在椭圆上，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2022·吉林吉林·高二期中）已知点，，为椭圆：上不重合的三点，且点，关于原点对称，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 11.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12、已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，焦距为2，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点，过点F的直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线l：x＝3交于点M，N，求证：直线FM和直线FN的斜率之积为定值． 13、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(1．)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程; (2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2，(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由． 14、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B.已知|AB|＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值． 15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过A(1，)，B(，－)两点，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且与圆O：x2＋y2＝3相交于M，N两点试问直线OM与ON的斜率之积kOMkON是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB 的距离为，△OAB的面积为1． (1)、求椭圆的标准方程； (2)、直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值． 17．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2，是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一 个动点，且△PF1F2面积的最大值为10． (1)求椭圆C的方程； (2)若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆＋