专题09 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题9 圆锥曲线的第三定义与斜率是定值模型 圆锥曲线的第三定义： 平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线, 其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。 圆锥曲线的第三定义的有关结论： 1.椭圆方程中有关的经典结论 (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. (2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 (3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 (4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有 2.双曲线方程中有关的经典结论 (1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 (2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有 (3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有 (4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有 例1.（成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试）已知椭圆的左,右焦点分别为 ，，，经过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于 ，两点，△的周长为8. （1） 求椭圆的方程； （2）经过椭圆上的一点作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆相交于异于点的，两点.若，关于坐标原点对称，求的值 例2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程; （2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由． 例3.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点. ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； ②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 例4.设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值． 例5.已知抛物线C：y2＝ax(a＞0)上一点P(t，)到焦点F的距离为2t． (1)求抛物线C的方程； (2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 例6.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点. ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； ②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 例7.已知椭圆经过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 例8.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B.已知|AB|＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 圆锥曲线的第三定义与斜率是定值模型 圆锥曲线的第三定义： 平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线, 其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。 圆锥曲线的第三定义的有关结论： 1.椭圆方程中有关的经典结论 (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. (2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 (3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 (4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有 2.双曲线方程中有关的经典结论 (1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 (2)双曲线的方程为（a＞0，b＞