专题08 圆锥曲线第二定义与焦点弦（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题8 圆锥曲线的第二定义与焦点弦 焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A、B，弦AB叫做曲线的焦点弦。 秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式： ①焦点弦长公式：(为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：(最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两部分，则(定值)(取通径即可)。 ③，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。 秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式： ①过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则:,。(焦点在轴上的性质对比给出。) 引伸:在抛物线的对称轴上，过的直线交抛物线于两点。 ,=(定值)。 ②(是直线与焦点所在轴的夹角)=(焦点在轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为)最短。 ③，则有，，(为直线与焦点所在轴的夹角)。 ④面积:，(是直线与焦点所在轴的夹角)。 ⑤以为直径的圆与准线相切，切点为中点，分别是抛物线的切线，并且分别是的角平分线。 ⑥以为直径的圆与相切，切点为焦点。 ⑦以焦半径为直径的圆与轴相切。 ⑧三点共线,三点共线。 ⑨(定值)。 ⑩设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于轴的直线和轴交于点，线段是和的比例中项。 【一】、椭圆中的焦点弦问题 例1．已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为__________． 例2．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则 的值为　　 A． B． C．1 D． 1．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是　，　． 2．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【二】、双曲线中的焦点弦问题 例3．已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为______． 例4．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为　　 A． B．2 C． D． 1．已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点．若，则________________． 2．（2023上·江苏宿迁·高二校考期末）已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，，以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B．直线的倾斜角为或 C．圆的面积等于 D．与的面积之比为 【三】、抛物线中的焦点弦问题 例5．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例6．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B．8 C．12 D． 例7．点F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C．2 D． 例8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为　　 A．32 B．16 C．24 D．8 1．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 2．如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则 . 4．（2023下·黑龙江绥化·高二校考开学考试）已知抛物线上有，A，B三点，且直线过抛物线的焦点F，抛物线的准线与轴交于点C，若，则 ， ． 【四】、综合问题 例7．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 例8．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设为