专题08 分类讨论法（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题8 分类讨论 【函数与导数解题策略】： ①分离参数＋函数最值； ②直接化为最值＋分类讨论； ③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。 重难点题型突破1 基本类型（） 例1、（2024·陕西·校联考一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，对，不等式恒成立． 例2（2024·云南大理·统考模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，且是的极值点，证明： （i）时，取得极小值； （ii）. 例3、（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 1、（2022·江西省丰城中学高三开学考试（理））已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 2、（2021·辽宁·高三月考）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若曲线的一条切线的斜率为，求与曲线的公共点的坐标. 3、（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 重难点题型突破2 函数零点的大小情况分类 例4、（2024上·福建·高二莆田二中校联考期末）函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：． 例5、（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 例6、（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设是的两个极值点，求证：． 1、（2019·北京市顺义区第一中学高三期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求证：在上是增函数； （3）求证：当时，对任意，． 2．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，求证：当时，恰有两个零点. 3．（2024上·云南保山·高三统考期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. 重难点题型突破3 二次函数类型（） 例7、（2019·全国·模拟预测）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 例8、（2021·陕西渭南·高三月考）已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程. （2）讨论的单调性； （3）若，证明：. 1．（2019·江西九江·江西省都昌县第一中学校考一模）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 2．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数. (1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：. 3．（2023·广东茂名·统考二模）已知函数，为常数，且. (1)判断的单调性； (2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：. 重难点题型突破4 其他综合情况 例9、（2023·湖南永州·统考二模）已知函数． (1)若时，，求实数的取值范围； (2)设，证明：． 例10、（2024·全国·模拟预测）已知实数，，． (1)求的值； (2)若对恒成立，求a的最小值； (3)当正整数时，求证：． 1．（2024·广东佛山·佛山一中校考一模）已知函数（为自然对数的底数）. (1)若，求实数的值； (2)证明：； (3)对恒成立，求取值范围. 2．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)讨论函数的零点个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 分类讨论 【函数与导数解题策略】： ①分离参数＋函数最值； ②直接化为最值＋分类讨论； ③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。 重难点题型突破1 基本类型（） 例1、（2024·陕西·校联考一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，对，不等式恒成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分和两种情况，由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）由题意可得要证原不等式成立，即证对恒成立，然后构造函数，求导后可得在上递增，则，从而可证得结论. 【详解】（1）定义域为， 由，得， ①时，，则在上为增函数； ②时，由，得，由，得， 则在上为增函数，在上为减函数． 综上，当时，在上为增