专题07 最大整数与最小整数问题（模拟+真题）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题7 最大整数与最小整数问题 1．已知． （1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． （2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 2．已知函数. （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间； （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分. ①若恒成立，求的取值范围. ②若仅有两个零点，求的取值范围. 3．已知函数. （1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； （2）已知，设函数若在区间上存在零点，求实数的取值范围. 4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性与极值； (2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）. 5．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数． (1)当时，恒成立，求b的范围； (2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值． 6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：） 7．（2021·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））设函数. (1)求的单调区间； (2)当时，恒成立，求整数的最大值. 8．已知函数，. （1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数； （2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值. 9．已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）令，若在恒成立，求整数a的最大值． 参考数据：， 10．已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求整数的最大值． 11．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若在上恒成立，求整数的最大值.(参考数据：，). 12．已知偶函数满足，，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围 13．已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围 14．（2019•苏州三模）已知函数，其中． （Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立． 15.（2021•湛江三模）已知函数，为的导函数． （1）讨论在区间内极值点的个数； （2）若，时，恒成立，求整数的最小值． 16．已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 17．函数． （1），求的单调区间； （2）若在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）令函数，求证：． 18．（Ⅰ）证明：，，； （Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2015·全国·高考真题）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2017·全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 5．（2014·全国·高考真题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 7．（2019·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 8．（2019·北京·高考真题）已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 9．（2012·全国·高考真题）设函数 (1)求的单调区间 (2)若，k为整数，且当时，求k的最大值 10．（2015·北京·高考真题）设函数， ． （1）求的单调区间和极值； （2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 最大整数与最小整数问题 1．已知． （1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． （2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数判断即可； （2）由可