专题07 最大整数与最小整数问题（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题7 最大整数与最小整数问题 导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍导数里面涉及最大整数与最小整数问题的解题思路，以飨读者. 题型1 整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 例1．已知函数 （1）若函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围． 例2．已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）. 【变式训练1】、已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【变式训练2】、已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 题型2 整数解问题之直接限制法 例3．已知函数，． （Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况； （Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求的取值范围． 例4．已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．请说明理由． 【变式训练3】、已知集合，集合，． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若中恰含有一个整数，求实数的取值范围． 【变式训练4】、已知函数，为自然对数的底数． （1）当时， ①求函数在处的切线方程； ②求函数的单调区间； （2）若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围． 题型3 整数解问题之虚设零点 例5、已知函数，求： （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，总有，求整数的最小值. 例6．设函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 【变式训练5】、已知函数，求： （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，总有，求整数的最小值. 【变式训练6】、已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 题型4 整数解问题之必要性探路 例7．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 例8．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 【变式训练7】、是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值. 【变式训练8】、（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 最大整数与最小整数问题 导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍导数里面涉及最大整数与最小整数问题的解题思路，以飨读者. 题型1 整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 例1．已知函数 （1）若函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，依题意可得在恒成立，两边取以为底的对数，即在恒成立，令，根据函数的单调性求出参数的取值范围； （2）依题意可得在无实根，即：在无实根，构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解； 【详解】 解：（1） 因为函数在单调递减， 所以在恒成立， 两边取以为底的对数， 即在恒成立， 设， 所以在递减， 所以， 所以； （2）在无零点， 等价于方程在无实根， 亦即在无实根， 因为在为单调增函数， 原方程无零点等价于在无实根， 即：在无实根， 构造函数， ，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以． 【点睛】 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化