专题05 形形色色的切线问题(讲义)-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题5 形形色色的切线问题 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等. 知识点(一) 求曲线在某点处的切线 求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简． 知识点(二) 求曲线过某点的切线 求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程． 知识点(三) 求曲线的切线条数 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 知识点(四) 曲线的公切线 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. 知识点(五) 取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围 此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解. 重难点题型突破1 在某点的切线方程（某点是切点） 例1．（2022上·河南·高三专题练习）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 例2．（2019·广东·校联考一模）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·四川雅安·校考模拟预测）若，则在点处的切线与坐标轴所围成的面积为 ． 例4、（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知. (1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值； (2)当时，讨论函数的零点个数. 【变式训练1】．（2024·广东茂名·统考一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【变式训练4】．（2023·江西景德镇·统考一模）函数在处的切线方程为 . 【变式训练5】．（2023·陕西西安·统考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 . 重难点题型突破2 过某点的切线方程（某点不是切点） 例5．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·贵州·校联考模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 例7．（2023·云南·校联考模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 . 例8．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【变式训练6】．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数的单调递增区间为 B．函数有两个零点 C．函数为奇函数 D．过坐标原点有两条直线与函数的图象相切 【变式训练7】．（2024·四川自贡·统考一模）若曲线的一条切线为，则 . 【变式训练8】．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为 . 【变式训练9】．（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 切线的条数 例9．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例10．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则b＝ ． 例11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 例12（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数,. （1）讨论的单调性； （2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切,求a的取值范围. 【变式训练10】．（2022·河南·校联考模拟预测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】．（2023·浙江·校联考模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ． 【变式训练12