专题04 函数与方程（零点问题、嵌套函数）(模拟+真题)-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题4 函数与方程 1．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可. 【详解】易知函数在上单调递增， 又，， 由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是． 故选：C 2．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理计算即可. 【详解】由题知在上单调递增， ∵，，， 又，∴，即在上存在使得. 故选：B. 3．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案. 【详解】①当时，，此时A选项符合； ②当时，， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在在上是减函数， 如图，作出函数在上的图象， 由图可知，函数的图象在上有一个交点， 即函数在在上有一个零点， 当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故B选项符合； ③当时，， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 如图，作出函数在上的图象， 由图可知，函数的图象在上有一个交点， 即函数在在上有一个零点， 当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故C选项符合，D选项不可能. 故选：D. 4．（2023·湖南永州·统考二模）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象是中心对称图形 B．在区间上单调递增 C．若方程有三个解，，则 D．若方程有四个解，则 【答案】D 【分析】利用导数判断B；求出函数的对称轴，根据导数求出函数单调性，得到的图象，数形结合可判断A；并可求出，的值，进而判断C；借助图象可求出的取值范围，进而判断D. 【详解】对于B，当时，， ， 因为，所以，， 所以，所以，所以在区间上单调递减，故B错误； 当时，， ， 因为，，所以， 所以，所以在区间上单调递增； 因为，所以， 所以的对称轴为， 又， ， 故图象如下： 对于A，由图象可知，不是中心对称图形，故A错误； 对于C，若方程有三个解，则，故 又，解得，所以， 所以，故C错误； 对于D，由图象可知若方程有四个解，则，解得， 故D正确. 故选：D 5．（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出. 【详解】因为， 令，则， 则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标， 可得和的函数图象都关于直线对称， 则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示. 观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点， 即有8个零点，且关于直线对称， 故所有零点的和为. 故选：D 6．（2023·天津·二模）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设, 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，,当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时. 所以函数的值域为， 即的取值范围是. 故选：A. 7．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题得到时，产生一个根，时，，产生两个根，利用韦达定理及对勾函数的性质可得取值范围. 【详解】要函数有三个不同的零点， 则当时，，必有一个根，且为，同时， 当时，，必有两不等非负根，整理得， 所以，解得， 所以， 根据对勾函数的图像和性质可得函数在上单调递减， 故， 即的取值范围是. 故选：D. 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，对求导，得到的单调性和最值再结合二次函数的性质画出的图象，令，将函数的零点个数问题转化为方程根的问题，结合图象求解即可. 【详解】由题意可知当时，， 令可得：；令可得：；， 故在上单调递减，在上单调递增， ，且当时，， 当趋近于负无穷时，趋近于0；