专题04 函数与方程（零点问题、嵌套函数）(讲义)-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题4 函数与方程 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【解题方法总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 题型一：二分法 例1、（2015·辽宁朝阳·统考一模） 方程的解所在的区间为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为方程的解就是函数的零点， 又因为 所以函数在区间内有零点， 又因为函数为定义域上的单调函数，所以函数的唯一零点在区间内， 所以方程的解所在的区间为 故选B. 考点：1、函数的零点与方程的根；2、对数函数. 例2、（2011·北京海淀·统考二模）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得. 【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且， ，所以存在唯一零点，且. 故选：C. 例3、（2020·湖北·校联考模拟预测）用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， 经过此操作后,区间长度变为， 用二分法求函数在区间上近似解, 要求精确度为， ，解得， 故选：C. 1．（2016·陕西商洛·统考二模）函数的零点所在的大致区间的 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点. 【详解】函数 ,在x>0上单调递增， ， 函数f（x）零点所在的大致区间是； 故选B 【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间. 2．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可. 【详解】易知函数在上单调递增， 又，， 由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是． 故选：C 3．（2014·广东惠州·统考一模）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果. 【详解】根据二分法，结合表中数据， 由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4 故选:C. 题型二：求函数的零点或零点所在区间 例3、（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ∵， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C 例4、（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，对分类讨论，分与两种情况，结合零点存在性定理可得的取值范围. 【详解】，， 当时，在上恒成立， 此时在上单调递减，不合要求，舍去； 当时，则要求的零点在内， 的对称轴为，由零点存在性定理可得： ，故， 解得：， 故