5.3.2 等比数列的前n项和（3知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.2 等比数列的前n项和 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握等比数列的前项和公式； （2）掌握等比数列前项和的性质的应用； （3）能运用等比数列的前项和公式解决一些简单的实际问题。 （1）在推导等比数列前项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养； （2）在运用等比数列前项和公式的过程中提升数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养； （3）等比数列前项和的性质。 知识点01 等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 【即学即练1】（2023·贵州贵阳·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A．12或3 B．1或 C．12 D． 知识点02 等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 （3）若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 【即学即练2】（2023·浙江绍兴·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ） A． B． C． D． 知识点03 等比数列前n项和的性质 1、运算性质： 2、奇偶项性质：等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 3、片段和性质：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【即学即练3】（2023·高二课前预习）（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【题型一：等比数列前n项和的基本量】 例1．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C．1 D．3 变式1-1．（2024·河北张家口·高二统考期末）已知等比数列的各项均为正数，是数列的前项和，若，则（ ） A．8 B．128 C．32 D．64 变式1-2．（2024·黑龙江哈尔滨·高二兆麟中学校联考期末）记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A．48 B．81 C．93 D．243 变式1-3．（2024·贵州六盘水·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ． 变式1-4．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 使用等比数列求和公式时注意事项： （1）一定不要忽略的情况； （2）知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项；、和，可以用； （3）在通项公式和前项和公式中共出现了五个量：，，，，，知道其中任意三个，可求另外两个。 【题型二：等比数列片段和的性质】 例2．（2024·河南开封·高二校联考期末）记为等比数列的前项和，若，则（ ） A．21 B．18 C．15 D．12 变式2-1．（2024·河南·高二校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A．324 B．420 C．480 D．768 变式2-2．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式2-3．（2024·江苏·高二专题练习）设等比数列的前项和为10，前项和为60，则该数列的前项和为（ ） A．360 B．720 C．1560 D．1800 变式2-4．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（ ） A．786 B．240 C．486 D．726 【方法技巧与总结】 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【题型三：等比数列奇数项与偶数项和】 例3．（2022·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ） A．8 B． C