专题07 新定义问题（中考重难点题型）20题-【中考冲刺】2024年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（上海专用）

专题07 新定义问题（中考重难点题型）20题（原卷版） 题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含综合知识点新定义类型题。 一、单选题 1．（2022上·上海杨浦·九年级统考期中）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 2．（2023·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（2023·上海虹口·统考一模）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 4．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为2cm，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 cm． 5．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于 ． 6．（2023·上海青浦·校考一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 7．（2023·上海闵行·校联考模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    8．（2022上·上海崇明·九年级统考期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在中，，点A在边BP上，点D在边CP上，如果，，，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为 ． 9．（2021上·上海徐汇·九年级统考期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在中，，，，则的三分线中，较短的那条长为 ．（只需写出一种情况即可）． 10．（2022上·上海黄浦·九年级统考期中）定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为 11．（2024上·上海崇明·九年级统考期末）定义：P为内一点，连接，在和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称P为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，是边上的中线，如果的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么的余切值为 ． 三、解答题 12．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2022上·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】 (1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______； (2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______； (3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，