2.5 曲线与方程（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.5 曲线与方程 第2章 圆锥曲线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 求轨迹的方程 极坐标系中的曲线方程 简单的参数方程 01 03 02 CONTANTS 目 录 求轨迹的方程 01 这个方程的解 曲线上 实数解 × × × D 圆 求轨迹方程的方法 这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程． 如果描述轨迹的条件与所求的曲线方程之间可以由一串充要条件相联系，则条件（１）与（２）可以一起验证，也就是说，步骤２与步骤３可以一并完成． 简单的参数方程 02 (t为参数)　 数量　 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论： 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2． ①弦长l＝|t1－t2|； ②M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|． 考点一 参数方程与普通方程的互化 例 1 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参．如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． 考点二 参数方程的应用 例 2 (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)利用直线参数方程中参数t的几何意义求相关的距离(线段长)时，解题的思路是： ①判断直线的参数方程是否是标准式； 极坐标系中的曲线方程 03 情景导入 东北方向，314公里处 有一个回波亮点 ) 45° ● 314 北 东 像这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想. 在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条水平射线Ox,叫做极轴; 再选定一个单位长度、一个角的正方向(通常取逆时针方向),这样建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系. 一、极坐标系的建立 x  O 建立极坐标系的四要素：极点；极轴；单位长度；角的正方向 二、极坐标系内点的极坐标表示 （1）连接OM，用表示线段OM的长度 （2）用表示以射线Ox为始边,射线OM为终边所成的角  叫做点M 的极径, 叫做点M 的极角,有序实数对( , )就叫做点M 的极坐标. x O M 极点的极坐标为 _______________________ (0,  ),  可为任意值.   ( ,) 例1.在下图极坐标系中描出下列各点. • A • B • C • D • E 先由极角定终边再由极径定点 O 56 练习：在极坐标系中标出下列各点 O B 例2：如图,在极坐标系中,写出点A,B,C 的极坐标 A C 思考：平面内一点的极坐标是否唯一？什么原因造成了极坐标的不唯一？是否有统一的表达式？ ,k∈Z ,k∈Z 三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 （1）给定极坐标（ ,  ）,只能确定唯一的点M . （2）给定一点M ，却有无数个极坐标与之对应. 在极坐标平面内 原因在于：极角有无数多个 例3：在极坐标系中，点A的极坐标为 （1）点A关于极轴对称的点B的极坐标是______ （2）点A关于极点对称的点C的极坐标是_______ 探究： 所表示的点. ° O x ) 下面我们来建立圆锥曲线的统一极坐标方程． 设定点F到定直线l的距离为P（P＞０），过定点F作定直线l的垂线，垂足为点K．如图２- ５ -６所示，以定点F为极点O，以FK的反向延长线FX为极轴，建立极坐标系． 设动点M的极坐标为（ρ，θ），则点M到定直线l的距离为 这就是圆锥曲线的统一极坐标方程．依据图２- ５ -７，当 ０＜e＜１时，方程表示左焦点在极点的椭圆；当e＝１时，方程表示焦点在极点，开口向右的抛物线；当e＞１时,方程表示右焦点在极点的双曲线的右半支． 解　如图２- ５- ８，由题设，知圆C经过极点O．设圆和极轴的另一个交点是M，则OM＝２a．设点P（ρ，θ) 是圆C上的任意一点．因为OM是圆的直径，所以∠OPM为直角． 这就是圆c的极坐标方程． 例4.求圆心是点C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程。 例5.设质点M为射线OA上的动点，已知点M沿着 方向做匀速运动，同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转，求质点M运动的轨迹方程． 解　如图２- ５ -９，以射线OA的端点O为极点，以射线OA的初始位置为极轴，建立极坐系