课时跟踪检测(44) 与球有关的组合体问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（四十四） 与球有关的组合体问题 A级——综合提能 1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　 ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 解析：选A　设两球的半径分别为r,3r，则表面积之比为＝. 2．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　 ) A．8π B. C. D. 解析：选A　作轴截面如图所示，则OO1＝1.设截面圆的半径为r，球的半径为R.由已知可得πr2＝π，所以r＝1，R＝.故S球＝4πR2＝8π. 3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的(　 ) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：选C　设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的体积V大＝×(3x)3＝36πx3，另两球的体积之和V和＝x3＋×(2x)3＝12πx3，所以V大＝3V和． 4．体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　 ) A．8π B．12π C．16π D.π 解析：选B　因为正方体的体积为8，则其棱长为2，体对角线长为2，因此其外接球直径为2，半径为，所以其外接球的表面积为4π×()2＝12π. 5．如图，所有棱长都等于2的三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为(　 ) A．27π B. C．28π D.π 解析：选D　如图，三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心，点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心)，C1O1＝A1B1＝×2＝2，C1O＝＝， 所以球O的体积V＝πr3＝π×()3＝π.故选D. 6．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为________． 解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝. 连接OC′，在Rt△C′CO中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，所以R＝3. 故V半球＝×πR3＝18π. 答案：18π 7．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为__________． 解析：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V－ABC， 所以VA＝AB＝BC＝1，VB＝AC＝， 其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R＝. 所以该四面体外接球的表面积为4π×2＝3π. 答案：3π 8.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm. 解析：设球的半径为r cm，则由题意可得3V球＋V水＝V圆柱，即3×πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4.故球的半径是4 cm. 答案：4 9.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少？ (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 解：(1)因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm. 所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝36π(cm3)． 又V圆柱＝πR2×2＝18π(cm3)，所以这种“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π(cm3)． (2)根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S球＝4πR2＝36π(cm2)， 又S圆柱侧＝2πR×2＝12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积S＝S球＋S圆柱侧＝36π＋12π＝48π(cm2)． 所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S＝2 500×48π＝120 000π(cm2)＝12π(m2)．所以共需胶100×12π＝1 200π(克)． B级——应用创新 10．(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　 ) A．球O的表面积为6π B．球O的内接正方体的棱长为1 C．球O的外切正方体的棱长为 D．球O的内接正四面体的棱长为2 解析：选AD　设球的半径为R，由已知可得ABC外接圆半径为r＝＝，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴R2－R2＝，得R2＝. 球O的表面积为4π×＝6π，故A正确； 设球O的内接正方体的棱长为a，∵正方体的体对角线即球O的直径，∴a＝2R，解得a＝，故B错误； 设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b＝2R＝，故C错误； 设球O