课时跟踪检测(17) 两角和与差的正切（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（十七） 两角和与差的正切 A级——综合提能 1．tan 255°等于(　 ) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 解析：选D　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋. 2.的值等于(　 ) A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° 解析：选A　∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°. 3．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D　由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2. 4．(多选)已知tan α＝4，tan β＝－，则(　 ) A．tan(－α)tan β＝1 B．α为锐角 C．tan＝ D．tan 2α＝tan 2β 解析：选ACD　∵tan α＝4，tan β＝－，∴tan(－α)tan β＝－tan αtan β＝1，故A正确；∵tan α＝4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B错误；∵tan β＝－，∴tan＝＝，故C正确；∵tan α＝4，tan β＝－，∴tan 2α＝＝＝－，tan 2β＝＝－，故D正确． 5．时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，相应的时针转过角度为α，则tan α的值为(　 ) A．－2＋ B．－＋1 C．－ D．－ 解析：选A　时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，用时小时，而时钟的时针顺时针旋转1小时，转过的角度为－，因此α＝－，tan α＝tan＝＝＝－2＋. 6.＝________. 解析：＝＝ ＝tan(15°－45°) ＝tan(－30°)＝－. 答案：－ 7．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝__________. 解析：∵28°＋32°＝60°，∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝.∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)． 答案：(1－m) 8．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________． 解析：由已知得tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝1，∵β∈(0，π)，∴β＝. 答案： 9．已知tan＝2，tan β＝， (1)求tan α的值； (2)求的值． 解：(1)∵tan＝2，∴＝2. ∴＝2.解得tan α＝. (2)原式＝ ＝＝＝tan(β－α)＝＝＝. 10．(1)已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值； (2)已知tan α＝1,3sin β＝sin(2α＋β)，求tan(α＋β)的值． 解：(1)∵0＜α＜，cos α＝，∴sin α＝＝.∴tan α＝＝.∵tan(α－β)＝＝＝－，解得tan β＝.∴tan β＝＝，sin β＝cos β.又sin2β＋cos2β＝1，代入得cos2β＝.∵β为锐角，∴cos β＝. (2)∵sin(2α＋β)＝3sin β，∴sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，即＝.∵tan α＝1，∴tan(α＋β)＝2tan α＝2. B级——应用创新 11．已知tan 110°＝a，求tan 50°的值(用a表示)，王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是(　 ) A．王老师对、叶老师错 　　 B．两人都对 C．叶老师对、王老师错 　　 D．两人都错 解析：选B　∵tan 50°＝tan(110°－60°)＝，所以王老师正确．∵tan 110°＝tan(90°＋20°)＝＝－＝a，∴tan 50°＝＝＝，所以叶老师正确． 12．已知tan β＝2tan(α＋β)，则＝______. 解析：∵tan β＝2tan(α＋β)， ∴＝ ＝ ＝＝＝－3. 答案：－3 13.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为今有直角三角形ABC，勾AC(短直角边)长3步，股BC(长直角边)长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形CDEF(D，E，F分别在边CB，BA，AC上)边长为多少？在求得正方形CDEF的边长后，可进一步求得∠BAD的正切值为__________． 解析：设正方形的边长为x，则DE＝EF＝CD＝x，BD＝4－x. 由△BDE∽△BCA，可得＝，即＝，解得x＝.因为tan∠BAC＝＝， tan∠DAC＝＝，所以tan∠BAD