课时跟踪检测(16) 两角和与差的正弦的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（十六） 两角和与差的正弦的应用 A级——综合提能 1．已知θ为锐角，且cos＝，则sin θ＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　∵cos＝>0(θ为锐角)， ∴θ＋为锐角． ∴sin＝＝. ∴sin θ＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝. 2．若sin αcos－cos αsin＝，α∈[0,2π)，则α等于(　 ) A. B. C.或 D.或 解析：选D　因为sin αcos－cos αsin＝sin＝，又α∈[0,2π)，所以α＝或. 3．已知cos＝，0<α<π，则sin α＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为cos＝，且0<α<π，所以<α＋<. 所以sin＝＝. 所以sin α＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝. 4．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　 ) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：选C　法一：由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 法二：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1，取α＝，排除A、B； 设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，tan β＝1，取β＝，排除D. 5．已知sin α＋cos β＝－，cos α＋sin β＝，则sin(α＋β)＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选C　因为sin α＋cos β＝－，cos α＋sin β＝， 所以(sin α＋cos β)2＝，(cos α＋sin β)2＝. 所以sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝， cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝， 两式相加可得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝. 所以2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝， 即2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝. 所以2＋2sin(α＋β)＝，解得sin(α＋β)＝－. 6．已知sin 2x－cos 2x＝2cos(2x－θ)(－π<θ<π)，则θ＝________. 解析：∵sin 2x－cos 2x＝2cos(2x－θ)(－π<θ<π)，∴sin＝cos(2x－θ)．即cos＝cos(2x－θ)，∴θ＝. 答案： 7.的值是________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝tan 60°＝. 答案： 8．在锐角△ABC中，已知cos A＝，sin B＝，则角C的值为________． 解析：因为△ABC为锐角三角形，又cos A＝，sin B＝，所以sin A＝，cos B＝.则sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.又C∈，即C＝. 答案： 9．求证：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin β. 证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α] ＝sin β， ∴sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin β. ∴原式得证． 10．已知α，β∈，cos α＝，cos(α＋β)＝. (1)求sin β的值； (2)求2α＋β的值． 解：(1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)． 又cos α＝，cos(α＋β)＝， ∴sin α＝＝， sin(α＋β)＝＝. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. (2)cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α] ＝cos(α＋β)cos α－sin αsin(α＋β) ＝×－×＝0. 由α，β∈，得2α＋β∈. ∴2α＋β的值为. B级——应用创新 11．在△ABC中，若2cos Bsin C＝sin A，则△ABC的形状是(　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：选A　由题意，sin A＝sin(π－A)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos