课时跟踪检测(15) 两角和与差的正弦（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（十五） 两角和与差的正弦 A级——综合提能 1．sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°的值为(　 ) A．－1 B．－ C. D．1 解析：选C　sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°＝sin 70°cos 25°－cos 70°sin 25°＝sin＝sin 45°＝. 2．已知sin α＝，α∈，则sin＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝＝.所以sin＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝. 3．(多选)下列计算正确的是(　 ) A.sin 15°－cos 15°＝ B．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ C．sin－cos＝－ D．sin 105°＝ 解析：选BCD　sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin(15°－60°)＝sin(－45°)＝－，A错误； sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，B正确； sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－，C正确； sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，D正确． 4．已知函数f＝sin ax＋cos ax的最小正周期是3，则实数a的值为(　 ) A. B. C．－ D．± 解析：选D　因为f＝sin ax＋cos ax＝2＝2sin， 所以最小正周期T＝＝3，解得a＝±. 5．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转90°得到角β，则下列结论正确的是(　 ) A．tan α＝ B．cos β＝－ C．sin(α－β)＝－1 D．sin＝－ 解析：选AC　由题意知sin α＝－，cos α＝－，β＝α＋90°，则tan α＝＝，故A正确； cos β＝cos(α＋90°)＝－sin α＝，故B错误； α－β＝－90°，则sin(α－β)＝sin(－90°)＝－1，故C正确； sin β＝cos α＝－，则sin＝(sin β＋cos β)＝×＝×＝，故D错误．故选A、C. 6．化简cos 15°－cos 75°＝________. 解析：cos 15°－cos 75°＝sin 60°cos 15°－cos 60°sin 15°＝sin(60°－15°)＝sin 45°＝. 答案： 7．已知α为锐角，且sin＝sin，则tan α＝__________. 解析：因为sin＝sin， 所以sin α＋cos α＝sin α－cos α， 即(＋1)cos α＝(－1)sin α， 所以tan α＝＝2＋. 答案：2＋ 8．函数f(x)＝sin 2x＋cos＋3的最小值是________． 解析：f(x)＝sin 2x＋cos＋3 ＝sin 2x＋cos 2x－sin 2x＋3 ＝sin 2x＋cos 2x＋3＝sin＋3， ∵sin∈[－1,1]， ∴f(x)min＝2. 答案：2 9．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝. (1)求cos的值； (2)求sin β的值． 解：(1)∵α为锐角，sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝. (2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝， 得sin(α＋β)＝＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝. 10．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x的图象经过点和. (1)求实数a和b的值，并判断f(x)的周期性； (2)当x为何值时，f(x)取得最大值？ 解：(1)依题意，有⇒ 故f(x)＝sin x－cos x＝2sin. ∴f(x)的最小正周期为2π. (2)由(1)知f(x)＝2sin. 因此，当x－＝2kπ＋(k∈Z)， 即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2. B级——应用创新 11．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　 ) A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 解析：选C　因为f(x)＝sin ＋cos ＝sin，所以最小正周期T＝＝6π.因为≤1，所以f(x)max＝.故选C. 12．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　 ) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2