课时跟踪检测(37) 几种简单几何体的表面积（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测检测(三十七)　几种简单几何体的表面积 1．圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为(　 ) A．2 B．3 C．1 D． 解析：选A　设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以S表＝πr2＋πrl＝12π，即 r2＋4r－12＝0，解得r＝2或 r＝－6(舍去)． 2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小的底面半径为(　 ) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：选A　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7. 3．已知长方体的长、宽、高分别为3,2,2，其八个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为(　 ) A.π B．17π C．7π D．π 解析：选B　因为长方体的长、宽、高分别为3,2,2，所以长方体外接球的直径为2R＝＝，可得R＝.因此该球的表面积为4πR2＝4π×＝17π. 4．已知长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选D　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的表面积S＝S侧＋2S底＝2(a＋b)·c＋2ab＝11，即ab＋bc＋ca＝　①. 又十二条棱长度之和为4(a＋b＋c)＝24，即a＋b＋c＝6　②， 由②2－2×①，得a2＋b2＋c2＝36－11＝25.所以长方体的一条体对角线长为＝5. 5.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的表面积为(　 ) A．36π B．27π C．18π D．9π 解析：选A　设圆锥的母线长为l，以S为圆心，母线l为半径的圆的面积为S圆＝πl2， 又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝3πl， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以πl2＝3×3πl，解得l＝9. 所以圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝3×π×9＋π×32＝36π.故选A. 6．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　 ) A. B．2 C. D． 解析：选B　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的正四棱锥的侧面积之和，如图，正四棱锥的侧棱长l＝＝1，故以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为8××1×1×sin 60°＝2.故选B. 7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱BC，A1C1的中点，若异面直线AA1与EF的夹角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　如图，取AC中点D，连接FD，DE， 又在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱BC，A1C1的中点， 则DF∥AA1，且DF⊥平面ABC. 又直线AA1与EF的夹角是45°， 则直线DF与EF的夹角是45°， 故Rt△EDF为等腰直角三角形． 不妨设DE＝DF＝x，则AB＝2x， 则S侧＝(AB＋BC＋AC)×AA1＝6x·x＝6x2， S底＝2××2x×2x×＝2x2， 故＝＝＝＝.故选D. 8．柷(zhù)，是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎(木棒)撞击其内壁发声，表示乐曲将开始．如图，某柷(含底座)高60 cm，上口正方形边长70 cm，下口正方形边长54 cm，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4 cm，高为16 cm的正四棱柱，则该柷(含底座)的侧面积约为(≈2.236)(　 ) A．12 960 cm2 B．14 803 cm2 C．16 800 cm2 D．18 240 cm2 解析：选B　如图，在正四棱台中，连接AC，A1C1，过点A，C分别作AE⊥A1C1，CF⊥A1C1，交A1C1于点E，F， 依题意AB＝54 cm，A1B1＝70 cm，AE＝CF＝60－16＝44 cm， 则A1E＝＝8cm， 所以AA1＝＝ cm. 所以正四棱台的斜高为＝20 cm. 所以正四棱台的侧面积S1＝4××20＝4 960≈11 090.56 cm2. 又正四棱柱的侧面积S2＝4×(54＋4)×16＝3 712 cm2， 所以该柷(含底座)的侧面积约为11 090.56＋3 712＝14 802.56≈14 803 cm2.故选B. 9．(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则(　 ) A．正四棱锥的底面边长为6 B．正四棱锥的底面边长为3 C．正四棱锥的侧面积为24 D．正四棱锥的侧面积为12 解析：选AC　如图，在正四棱锥