课时跟踪检测(34) 两角和与差的正弦、正切公式及其应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

课时跟踪检测（三十四）两角和与差的正弦、正切公式及其应用 A级——综合提能 1．sin 50°sin 80°－cos 130°sin 10°＝(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选B　原式＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin(50°＋10°)＝sin 60°＝.故选B. 2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　 ) A．2 B．1 C. D．4 解析：选C　因为tan(α＋β)＝＝4， 所以1－tan αtan β＝，即tan αtan β＝. 3．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　 ) A. B.－ C. D．－ 解析：选A　sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋ )＝×＝. 4．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　 ) A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 解析：选CD　∵C＝120°，∴A＋B＝60°.∴2(A＋B)＝C，A错误．tan(A＋B)＝tan 60°＝，B错误．∵tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，∴tan Atan B＝　①.又tan A＋tan B＝　②，联立①②，解得tan A＝tan B＝.又A＋B＝60°，∴cos B＝sin A，C、D正确．故选C、D. 5.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝. 6．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析：∵sin α＋cos β＝1，　① cos α＋sin β＝0，　② ∴①2＋②2，得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－. ∴sin(α＋β)＝－. 答案：－ 7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h·tan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan(θ1＋θ2)＝________. 解析：由题意l＝h·tan θ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tan θ1＝2，tan θ2＝3，所以tan(θ1＋θ2)＝＝＝－1. 答案：－1 8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________. 解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－. 所以sin＝sin βcos＋cos βsin ＝×＋× ＝＋＝. 答案： 9．已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4)． (1)求sin的值； (2)若锐角β满足cos(α＋β)＝－，求sin β的值． 解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)， 所以sin α＝，cos α＝. 所以sin＝sincos α＋cossin α ＝×＝. (2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 因为cos(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈.所以sin(α＋β)＝.所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×＋×＝. 10．已知tan＝，tan＝2，求： (1)tan的值； (2)tan(α＋β)的值． 解：(1)tan＝tan ＝＝ ＝－. (2)tan(α＋β)＝tan ＝＝ ＝2－3. B级——应用创新 11．图1是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则sin∠A6OA8＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　∵OA1＝A1A2＝1， 且△OA1A2是直角三角形， ∴OA2＝，同理得OA6＝，OA7＝，OA8＝.∴sin∠A6OA7＝，cos∠A6OA7＝，sin∠A7OA8＝，cos∠A7OA8＝. ∴sin∠A6O