课时跟踪检测(23) 平面向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

课时跟踪检测（二十三） 平面向量基本定理 A级——综合提能 1．平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法正确的是(　 ) A．向量a，b的方向相同 B．向量a，b中至少有一个是零向量 C．向量a，b的方向相反 D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0 解析：选D　因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A、C不正确．因为a，b是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确．因为a，b不共线，且不能为零向量，所以若λa＋μb＝0，当且仅当λ＝μ＝0，故D正确．故选D. 2.如图，向量a－b等于(　 ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：选C　不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝.由平行四边形法则可知＝e1－3e2. 3．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基的是(　 ) A．a＝0，b＝e1－e2 B．a＝3e1－3e2，b＝e1－e2 C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2 解析：选C　对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基．对于B，因为a＝3e1－3e2，b＝e1－e2，所以a＝3b.所以这两个向量不可以作为基．对于C，设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基．对于D，因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以a＝b.所以这两个向量不可以作为基．故选C. 4.如图，点D，E分别为AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　 ) A.a＋b B．－a＋b C.a＋b D．－a＋b 解析：选C　＝＋＝＋＝＋＝a＋b.故选C. 5．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　 ) A．3 B．4 C．－ D．－ 解析：选B　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0. 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基， 所以解得 6．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________. 解析：由题中条件得＝＋＝＋＝ ＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－. 答案：　－ 7.在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若＝x＋y，则x＝________. 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝－＝－＋.所以x＝－. 答案：－ 8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝________. 解析：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF， ∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：a＋b 9.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，用a，b表示. 解：由题意知＝b＋a，＝a－b. 设＝λ，则＝λa－λb， 所以＝＋＝λa＋b. 因为与共线且a，b不共线， 所以＝，解得λ＝. 所以＝a＋b. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基； (2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∵e1与e2不共线，∴解得∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴解得 B级——应用创新 11．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法不正确的是(　 ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2≠0，则λ≠0且μ≠0 解析：选BCD　根据平面向量基本定理