课时跟踪检测(22) 向量的数乘与向量共线的关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

课时跟踪检测（二十二） 向量的数乘与向量共线的关系 A级——综合提能 1．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　 ) A．a＝b B．a＝2b C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同 解析：选D　表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可，故选D. 2．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　 ) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0⇒λa＝μb，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以． 3．已知平面向量a，b，c，下列结论正确的是(　 ) A．若a∥b，则a＝b B．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a∥b C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若|a|＝|b|，则a＝b 解析：选B　若a，b为非零向量，a∥b，但|a|不一定等于|b|，故a＝b不成立，A错误；由|a＋b|＝|a|＋|b|可知a，b同向，于是可知a，b共线，即a∥b，B正确；若b为零向量，a∥b，b∥c不一定能推出a∥c，C错误；|a|＝|b|，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出a＝b，D错误．故选B. 4．(多选)已知4－3＝，则下列结论正确的是(　 ) A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线 C．||＝|| D．||＝3|| 解析：选BD　因为4－3＝，所以3－3＝－.所以3＝.因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||.B、D正确，A错误．由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋.所以||≠||，C错误．故选B、D. 5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　 ) A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2 解析：选D　由于A，B，C三点共线，故可设＝k(k∈R)．因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．所以λ＝k,2＝k(λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2. 6．点C在线段AB上，且||＝||，若＝λ，则λ＝________. 解析：不妨设||＝4a，则||＝||＝3a.因为点C在线段AB上，所以＝－. 答案：－ 7．设向量a和b不平行，若向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，则实数λ＝________. 解析：因为向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，所以存在t(t<0，t∈R)，使得2λa＋8b＝t(a＋λb)，即(2λ－t)a＝(tλ－8)b.又向量a和b不平行，所以解得t＝－4，λ＝－2. 答案：－2 8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝________. 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使＝λ.∴－＝λ(－)．∴＝(1－λ)＋λ.∴x＝1－λ，y＝λ.∴x＋y＝1. 答案：1 9．已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn. (1)判断a，b是否共线； (2)若a∥c，求x的值． 解：(1)若a与b共线，由题知a为非零向量， 则有b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)， ∴得到λ＝2且λ＝－2， ∴λ不存在，即a与b不共线． (2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra， 即m＋xn＝3rm＋2rn， 即解得x＝. 10.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠A＝90°，E，F分别是线段AB，AC上的点，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈(0,1)，M，N分别是线段EF，BC的中点． 求证：＝(＋)． 证明：由已知一方面＝＋＋，另一方面＝＋＋， 因为M，N分别是EF，BC的中点， 所以＋＝0，＋＝0， 所以2＝＋＋＋＋＋ ＝＋， 所以＝(＋)． B级——应用创新 11．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　 ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形． 12．(多选)下列命题是真命题的是(　 ) A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 解析：选AD　A项为真命题，A，