课时跟踪检测(17) 三角函数的简单应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

课时跟踪检测（十七） 三角函数的简单应用 A级——综合提能 1．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)，已知噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0,0<φ<2π)的振幅为1，周期为2，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式是(　 ) A．y＝sin πx B．y＝cos πx C．y＝－sin πx D．y＝－cos πx 解析：选D　由题意，A＝1，φ＝且T＝＝2，则ω＝π，所以y＝sin＝cos πx，则用来降噪的声波曲线为y＝－cos πx. 2．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份，1≤x≤12且x∈N＋)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　 ) A．f(x)＝2sin＋7 B．f(x)＝9sin C．f(x)＝2sinx＋7 D．f(x)＝2sin＋7 解析：选D　由题意得解得又最小正周期为2×(7－3)＝8，所以ω＝＝.所以f(x)＝2sin＋7.将(3,9)代入，得2sin＋7＝9，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以当k＝0时，φ＝－符合题意．综上，f(x)＝2sin＋7. 3.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的弧长s与时间t的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　 ) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s 解析：选D　单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为s＝6sin的最小正周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s，故选D. 4．将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．如图所示，已知一根长为l cm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝2cos 2t，其中g≈980 cm/s2，π≈3，则估计线的长度应当是(精确到0.1 cm)(　 ) A．15.4 cm B．16.4 cm C．17.4 cm D．18.4 cm 解析：选C　由s＝2cos 2t，得T＝＝. 由函数的图象可知函数的周期为0.4， 所以＝0.4，即l＝≈≈17.4 cm. 5.(多选)2023年夏天，某市连续出现45度的极端高温天气，打破了历史最高气温记录．根据《高温酷暑工作规定》：当日高温达到40度以上，停止当日户外露天作业．如图，8月某一天从6时～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则下列判断正确的是(　 ) A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一个对称中心为(10,0) C．φ＝ D．根据该函数模型进行模拟估计，当天的6时～20时，按照规定将停止户外露天工作个小时 解析：选ACD　由题图可知，A＝＝10，b＝＝35.＝＝14－6＝8，所以ω＝.x＝14是函数的一条对称轴， 所以×14＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝.所以函数f(x)＝10sin＋35. 周期为T＝16，故A正确． 对称中心为(10,35)而不是(10,0)，故B错误． 由函数解析式可知，φ＝，故C正确． 令f(x)≥40，可得sin≥，则2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得16k－≤x≤16k＋，k∈Z.因为6<x<20，当k＝1时，≤x≤， 所以按照规定将停止户外露天工作－＝小时，故D正确． 6．在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系式为__________． 解析：设位移x关于时间t的函数为x＝f＝Asin，根据题中条件，可得A＝3，周期T＝＝3，故ω＝＝. 由题意可知当t＝0时，f取得最大值3，故3sin φ＝3，则φ＝＋2kπ. 所以x＝3sin＝3sin＝3cost. 答案：x＝3cost 7.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4 m，其中心O到水面的距离为2 m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为120 s，当水车上的一个水筒A从水中(A0处)浮现时开始计时，经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)(单