专题1-3诱导公式（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题1-3诱导公式（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵） （），，，这些角都与角有特殊的关系. 已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能够快速求出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题. 由于角（）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： ， ， ， （）. 由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于周对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值. 将角的终边绕着原点按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反. 角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标互为相反数，而纵坐标互相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 以上四组诱导公式说明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值【名称不变】，但这两个值之间可能差一个正负号. 由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该与的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 角的终边与角关于直线对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于直线对称，则点的横坐标与点的纵坐标相等，而点的纵坐标与点的横坐标相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 在以上公式中将用代换，就有. 同理，有如下诱导公式： ， ， ， . 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以相互转化，正切和余切也可以相互转化. 以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值【名称改变】，但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是：当角为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该同的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 奇变偶不变，符号看象限. 例如，及都是的奇数倍，如果等式左边是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变”；而（）、、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”. 等式右边角正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意角），由等式左边的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”. 题型一：利用诱导公式求值 1．（2022上·上海静安·高三上海市新中高级中学校考期中）已知则 . 2．（2023下·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）求． 3．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 4．（2023下·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知,求的值. 5．（2024下·上海·高一假期作业）计算： (1)； (2)． 题型二：利用诱导公式化简 6．（2022下·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）化简： ． 7．（2024下·上海·高一假期作业）化简： (1)； (2). 题型三：证明问题 8．（2024下·上海·高一假期作业）求证：＝－1. 9．（2024下·上海·高一假期作业）（1）求证：＝； （2）求证：＝－tan θ. 10．若，求证：. 11．求证：. 题型四：诱导公式综合问题 12．（2024下·上海·高一假期作业）求：方程的解集 13.如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标. 14．（2024上·上海·高一校考期末）已知角是第三象限角，，求下列各式的值： (1)； (2). 15.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 16、（1）求函数的值域； （2）化