1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质7种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 7种常见考法归类 课程标准 学习目标 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 通过本节课的学习，要求掌握三角函数的定义及会求任意角的三个三角函数值，并能准确判断任意角的三角函数值的符号，能够求三角函数的简单性质及诱导公式的应用 知识点01任意角的正弦函数和余弦函数 1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝sin a，u＝cos a． 2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数 如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝＝，cos α＝＝ ． 【即学即练1】已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练3】若角的终边经过点，则_______，______． 【即学即练4】在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练5】已知角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练6】若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（    ） A． B． C． D． 知识点02　正弦函数、余弦函数的基本性质 1．定义域：R． 2．最大(小)值：当α＝2k+(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2k(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最小值1. 当α＝2k(k∈Z)时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k+1) (k∈Z)时，余弦函数取得最小值1． 3．值域：[1,1]． 4．周期性：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a ，α∈R；对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝cos a，α∈R，最小正周期为2. 5．单调性：正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减．余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增，在区间[] (k∈Z)上单调递减． 【即学即练7】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练8】已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值. 知识点03　正弦函数值和余弦函数值的符号 注：对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知： (1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号； (2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号． 【即学即练9】若，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【即学即练10】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 【即学即练11】“角是第一或第三象限角”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点04 诱导公式 1.特殊角的终边的对称关系 （1）角－α的终边与角α的终边关于x轴对称． （2）角α±π的终边与角α的终边关于原点对称． （3）角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称． 2.　－α、α±π、π－α的诱导公式 －α：sin (－α)＝－sinα cos (－α)＝cos α α＋π：sin (α＋π)＝－sin α cos (α＋π)＝－cos α α－π：sin (α－π)＝－sin α cos (α－π)＝－cos α π－α：sin (π－α)＝sin α cos (π－α)＝－cos α 注：①记忆方法：－α、α±π、π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α. 3.±α与α的诱导公式 sin ＝cos a，cos ＝sin a． sin ＝cos a，cos ＝-sin a． 注：(1)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应