5.1正弦函数的图象与性质再认识 第二课时 正弦函数的图象与性质再认识(二）-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

３．设函数f(x)＝sin２x－π２ æ è ç ö ø ÷,则f(x)是 (　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π２ 的奇函数 D．最小正周期为π２ 的偶函数 ４．函数f(x)＝sin(x＋θ)在[０,π]上为增函数,则 θ的值可以是 (　　) A．０　　　B．π２　　　C．π　　　D． ３π ２ ５．判断下列函数的奇偶性． (１)y＝|sinx|; (２)y＝cos３π２＋x æ è ç ö ø ÷． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二课时　正弦函数的图象与性质再认识(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握y＝sinx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和 最值 ２．掌握y＝sinx的单调性,并能利用单调性比较大小 ３．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 三角函数的性质是高考必考 内容,通过应用,提升学生逻 辑推理和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　生活中许多美好的事物 都有对称性,如漂亮的蝴蝶, 它停飞展翅就是一幅异常美 丽的对称图案． 数学中的对称美也比比皆是, 如圆、等 腰 三 角 形、正 方 形、 球、圆柱、正方体等． 问题　正弦函数的图象也很美,它们有怎样的对 称性? 除此之外还有哪些性质呢? [知识梳理] [知识点]　正弦函数y＝sinx的图象和性质􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　名称 性质　　 y＝sinx 定义域 　　　 图象 续表 　　名称 性质　　 y＝sinx 值域 　　　　 最值 当且仅当　　　　　　　　时, y＝sinx的最大值ymax＝　　; 当且仅当　　　　　　　　时, y＝sinx的最小值ymin＝　　 奇偶性 　　　　 周期性 最小正周期:２π 单调性 　　　　　　　　上递增 ; 　　　　　　　　上递减 零点 　　　　　 对称轴 x＝π２＋kπ ,k∈Z 对称中心 (kπ,０),k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第一章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用正弦的周期性考查它们的单调性 和最值,你有何发现? ２．从图象的变化趋势来看,正弦函数的最大值、 最小值点分别处在什么位置? ３．正弦函数在 －π２ ,３π ２[ ] 上函数值的变化有什 么特点? 推广到整个定义域呢? [预习自测] １．函数y＝２sin(x＋２)的最大值是 (　　) A．－２　　　　　　　　　　B．２ C．２sin２ D．－２sin２ ２．下列函数,在 π２ ,π[ ]上是增函数的是 (　　) A．y＝sinx B．y＝sin１２x C．y＝sin２x D．y＝－sinx ３．y＝asinx＋b(a＞０)的最大值为３,最小值为 －１,则ab＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　正弦函数的值域 [例１]　求下列函数的值域: (１)y＝sinx－２sinx＋１ ; (２)求函数y＝２sin２x＋２sinx－１的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　依正弦函数的定义域、值域求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求解形如y＝asinx＋b的函数的最值或 值域问题,利用正弦函数的有界性(－１ ≤sinx≤１)求解,此时有－|a|＋b≤y ≤|a|＋b． ２．求形如y＝asin２x＋bsinx＋c,a≠０,x∈ R的函数的值域或最值时,可以通过换元, 令t＝sinx,将原函数转化为关于t的二 次函数,利用配方法求值域或最值．求解 过程中要注意正弦函数的有界性． ３．求形如y＝asinx＋bcsinx＋d ,ac≠０的函数的 值域,可以用分离常量法求解,也可以反 解出y,利用正弦函数的有界性建立关 于y的不等式求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函数y＝１＋２sinx,x∈ －π６ ,π ６[ ] 的值 域为 (　　) A．[－１,１]　　　　　　　B．[０,１] C．１ ２ ,３ ２ é ë êê ù û úú D．[０,２] (２)设a＞０,对于函数f(x)＝sinx＋asinx (０＜x ＜π),下列结论正确的是 (　　) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 　　　比较三角函数值的大小 [例２]　下列不等式中成立的是 (　　) A．sin －π８ æ è ç ö ø ÷＞sin －π１０ æ è ç ö ø ÷　B．sin３＞sin２ C．sin７５π＞sin － ２ ５π æ è ç ö ø ÷ D．sin２＞cos１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把角化到同一单调区间,利用 正弦函数的单调性比较． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 比较三角函数值大小的方法 (１)比较两个同名三角函数值的大小,先利 用诱导公式把两个角化为同一单调区 间内的角,再利用函数的单调性比较． (２)比较两个不同名的三角函数值的大小, 先利用诱导公式将名称化为一致．然后 再利用正弦函数的单调性进行比较,当 角不在同一个单调区间时,再利用诱导 公式将角转化为同一单调区间内．对于 正 弦 函 数,一 般 将 两 个 角 转 化 到 －π２ ,π ２[ ]或 π ２ ,３π ２[ ]内． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀳀[变式训练] ２．比较sin(－３２０°)与sin７００°的大小． 　　　正弦函数的单调性及应用 [例３]　函数y＝asinx＋１的最大值为１－a,最 小值为－３． (１)求实数a的值; (２)求该函数的单调递增区间; (３)若x∈[－π,π],求该函数的递增区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依题意区分a＞０还是a＜０, 利用正弦函数的单调性求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求形如y＝asinx＋b的三角函数的单调 区间． 当a＞０时,其单调区间与y＝sinx的单 调区间相同,当a＜０时,其单调区间与 y＝sinx的单调区间相反． ２．求复合函数单调区间的方法是“同增异 减”原则,但要注意函数的定义域． 􀳀[变式训练] ３．求y＝log２sinx的单调递增区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知sin２x＋２a－１＝０,则a的取值范围是 (　　) A．[０,１]　　　　　　　B．０,１２[ ] C．０,１２ æ è ç ö ø ÷ D．(０,１) ２．y＝２sinx－３,x∈R的减区间为 (　　) A．x π２＋２kπ≤x≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z{ } B．x －π２＋２kπ≤x≤ π ２＋２kπ ,k∈Z{ } C．－π２＋２kπ ,π ２＋２kπ[ ],k∈Z D．π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ],k∈Z ３．下列关系式中正确的是 (　　) A．sin１１°＜cos１０°＜sin１６８° B．sin１６８°＜sin１１°＜cos１０° C．sin１１°＜sin１６８°＜cos１０° D．sin１６８°＜cos１０°＜sin１１° ４．已知函数y＝－３sinx＋２,当x＝　　　　时, y有最大值等于　　　　． ５．求函数f(x)＝sin２x－４sinx＋５的值域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 第一章　三角函数 第二课时　正弦函数的图象与性质再认识(二) 课前预习学案　情境引入 　提示:它们既是轴对称图形,又是中心对称图形． 知识梳理　知识点 　R　[－１,１]　x＝π２＋２kπ ,k∈Z　１　x＝３π２＋２kπ ,k∈Z　 － １ 　 奇 函 数 　 －π２＋２kπ ,π ２＋２kπ[ ](k ∈ Z)　 π ２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)　kπ,k∈Z [思考] １．提示:对于正弦函数,任意的两个递增区间相差周期２π的整 数倍,任意的两个递减区间也相差周期２π的整数倍,取得最 大值的任意两个x的值相差周期２π的整数倍,取得最小值 的任意两个x的值相差周期２π的整数倍． ２．提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的 地方． ３．提示:观察图象可知: 当x∈ －π２ ,π ２[ ] 时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值 由－１增大到１; 当x∈ π２ ,３π ２[ ] 时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由１ 减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈ －π２＋２kπ ,π ２＋２kπ[ ](k∈Z)时,正弦函数y＝sinx 是增函数,函数值由－１增大到１; 当x∈ π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)时,正 弦 函 数y＝sinx 是减函数,函数值由１减小到－１． 预习自测 １．B　２．D　３．２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)y＝sinx－２sinx＋１＝ sinx＋１－３ sinx＋１ ＝１－ ３sinx＋１． ∵sinx＋１∈(０,２], ∴ ３sinx＋１∈ ３ ２ ,＋∞[ )． 当 sin x ＝ １ 时,ymax ＝ － １ ２ ,故 该 函 数 的 值 域 为 －∞,－１２( ]． (２)将函数配方得y＝２ sinx＋１２( ) ２ －３２． ∵－１≤sinx≤１,当sinx＝－１２ 时,ymin＝－ ３ ２ ;当sinx＝１ 时,ymax＝３． ∴函数的值域为 －３２ ,３[ ]． 变式训练 １．解析:(１)∵－π６≤x≤ π ６ , ∴－１２≤sinx≤ １ ２ ,∴０≤１＋２sinx≤２,故函数的值域为 [０,２]． (２)因为０＜x＜π,所以０＜sinx≤１,１sinx≥１ ,又因为a＞０, 所以函数f(x)＝sinx＋asinx ＝１＋ a sinx 有最小值而无最大值, 故选B． 答案:(１)D　(２)B [例２]　[解析]　D　[∵－π２＜－ π ８＜－ π １０＜０ ,∴sin －π８( ) ＜ sin －π１０( ) ,A错误;∵ π ２＜２＜３＜π ,∴sin２＞sin３,B错误; ∵sin７π５＝sin π＋ ２π ５( )＝－sin ２π ５＝sin － ２π ５( ) ,C错误;∵sin２ ＝sin(π－２),cos１＝sin π２－１( ) ,且(π－２)－ π ２－１( )＝ π ２－ １＞０,∴π２＞π－２＞ π ２－１＞０ ,∴sin(π－２)＞sin π２－１( ) , 即sin２＞cos１,D正确．] 变式训练 ２．解:∵sin(－３２０°)＝sin(－３６０°＋４０°)＝sin４０°, sin７００°＝sin(７２０°－２０°)＝sin(－２０°) 又函数y＝sinx在 －π２ ,π ２[ ] 上是增函数, ∴sin４０°＞sin(－２０°), ∴sin(－３２０°)＞sin７００°． [例３]　[解]　(１)∵ymax＝１－a, ∴a＜０, 又ymin＝１＋a＝－３,∴a＝－４． (２)由(１)知,y＝－４sinx＋１．当 π２＋２kπ≤x≤ ３π ２＋２kπ ,k∈ Z时, 函数y＝－４sinx＋１递增, ∴y＝－４sinx＋１的递增区间为 π ２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)． (３)∵x∈[－π,π],∴ π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)∩[－π, π]＝ －π,－π２[ ] ∪ π ２ ,π[ ]． 即当x∈ [－π,π]时,y＝ －４sinx＋１ 的 递 增 区 间 为 －π,－π２[ ] , π ２ ,π[ ]． 变式训练 ３．解:由题意得sinx＞０,所以２kπ＜x＜π＋２kπ(k∈Z),令y＝ log２t,t＝sinx．因为函数y＝log２t在(０,＋∞)上单调递增, 函数t＝sinx 在 －π２＋２kπ ,π ２＋２kπ( ) ,(k∈Z)上单调递 增,所以函数y＝log２sinx的单调增区间为 ２kπ,π２＋２kπ( ) ,k∈Z． 随堂步步夯实 １．B　[１－２a＝sin２x,∵sinx∈[－１,１], ∴sin２x∈[０,１],∴０≤１－２a≤１,即０≤a≤１２． ] ２．D ３．C　[∵sin１６８°＝sin(１８０°－１２°)＝sin１２°, cos１０°＝sin(９０°－１０°)＝sin８０°． ∴由正弦函数的单调性,得sin１１°＜sin１２°＜sin８０°, 即sin１１°＜sin１６８°＜cos１０°．] ４．解析:当x＝－π２＋２kπ ,k∈Z时,(sinx)min＝－１,此时ymax ＝５． 答案:－π２＋２kπ ,k∈Z　５ ５．解:设t＝sinx,则|t|≤１, f(x)＝g(t)＝t２－４t＋５(－１≤t≤１), g(t)＝t２－４t＋５的对称轴为t＝２． 因为g(t)的图象开口向上, 对称轴t＝２在区间[－１,１]右侧． 所以g(t)在[－１,１]上是单调递减的, 所以g(t)max＝g(－１)＝(－１)２－４×(－１)＋５＝１０, g(t)min＝g(１)＝１２－４×１＋５＝２, 即g(t)∈[２,１０]． 所以函数f(x)的值域为[２,１０]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 参考答案