专题6.10 实数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题6.10 实数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【知识点二】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【考点目录】 【考点1】平方根与立方根定义理解； 【考点2】平方根与立方根有关运算； 【考点3】有理数与无理数的识别； 【考点4】与实数有关的运算； 【考点6】实数的应用. 【考点1】平方根与立方根的理解； 【例1】（2023上·江苏扬州·八年级期末）已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案； （2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中即可求出答案． （1）解：根据题意可得：，，， ，，； （2），， ， ∴的平方根为， 即的平方根为． 【点拨】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． 【变式1】（2024上·浙江金华·八年级统考期末）下列说法中正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．平方根是它本身的数只有0 C．没有立方根 D．立方根是它本身的数只有0和1 【答案】B 【分析】题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，先理解正数的平方根有两个且它们互为相反数；0的平方根和算术平方根是它本身；1的算术平方根是它本身；负数没有平方根和算术平方根，但是有立方根；再根据以上性质对四个选项进行分析即得．解题关键是区分平方根、算术平方根和立方根的性质的不同点．另外，特殊值法是解本题的有效方法． 解：A选项4的平方根是，故此选项错误； B选项平方根是它本身的数只有0，此选项正确； C选项的立方根是，故此选项错误； D选项立方根是它本身的数有0，1和，故此选项错误． 故选：B． 【变式2】（2023上·河南新乡·八年级统考期中）已知x为实数，，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．根据题意得：，解出，代入，求出平方根． 解：， ， 解得， ． 故答案为． 【考点2】平方根与立方根的运算； 【例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根和立方根的含义，实数的混合运算；掌握运算法则是解本题的关键. （1）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可． 解：（1）原式； （2）原式． 【变式1】（2023下·福建南平·七年级统考期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐项计算即可判断． 解：，故 A计算错误，不符合题意． ，故B计算错误，不符合题意． ，故C计算错误，不符合题意． ，故D计算正确，符合题意． 故选D．