重难点2-8 几何体外接球、内切球与棱切球问题（九类核心考点题型）专题讲义-2024届高三数学二轮复习

重难点2-10 几何体外接球、内切球与棱切球问题 （九类核心考点题型）（原卷版） 【考情透析】 空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置。 【归纳题型】 核心考点题型一 与长方体相关的几何体外接球问题 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 （一）墙角模型（补成长方体） 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【例题1】（2023.甘肃天水高三模拟）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【例题2】（2023秋.四川成都高三模拟）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【例题3】（2023秋.云南大理高三模拟）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【例题4】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________． 【变式1-1】（2023秋.山东烟台高三模拟）如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是 ．    【变式1-2】（2023秋.山西大同高三模拟）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋.陕西榆林高三模拟）三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-4】（2023秋·江苏无锡高三模拟预测）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______． 【变式1-5】（2023秋.山西大同高三模拟）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为 . 【变式1-6】（2023秋·河北石家庄高三模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． （二）对棱相等模型（补成长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：图2-1中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 【例题1】（2023秋.云南昆明高三模拟）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2023秋.陕西汉中高三模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋.四川成都高三模拟）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）   A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋.辽宁沈阳高三模拟）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋.陕西咸阳高三模拟）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为 　　． 核心考点题型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 【例题1】（2023秋·河南洛阳高三校考期末）