第12章 二次根式 重难点题型练习 2023－2024学年苏科版数学八年级下册

苏科版-八年级下册二次根式重难点题型二次根式的概念及意义类型一 二次根式的性质类型二 二次根式的运算最简二次根式与同类二次根式类型三 类型四 复合二次根式的化简及有理化类型五 含二次根式的规律探究类型六 二次根式的应用类型七 类型一 二次根式的概念及意义 例题1.在式子,,,(),和 中,是二次根式的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 练习1.若()2=1+a﹣a2,则a的值为( ) A.1 B.﹣1 C. 1 D.0 练习2.若,则a的取值范围是( ) A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3 练习3.使式子有意义的未知数x有( )个. A.0 B.1 C.2 D.无数 练习4.,则=_. 练习5.若,则m-2020 = . 类型二 二次根式的性质 例题2.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简代数式的结果是( ) A.﹣2b B.﹣2a C.0 D.2b﹣2a 练习1.若化简的结果为2x﹣5,则x的取值范围是( ) A.x为任意实数 B.1≤x≤4 C.x≥1 D.x≤4 练习2.已知﹣1<a<0,化简的结果为( ) A.2a B.﹣2a C. D. 练习3.(1)若=()2成立,则a的取值范围是 . (2)若=1﹣2a,则a的取值范围是 . 练习4.(1)若x、y都是实数,且满足y>++1,试化简代数式:|x﹣1|﹣﹣. (2)设a、b、c为 ABC的三边,化简:++﹣. 类型三 二次根式的运算 例3.(1+)(1﹣)+﹣2+ ﹣()2. 练习1.计算: (1). (2). (3) (1+)(1﹣)+(1+)2. (4)+|﹣2|+( ﹣3.14)0﹣. 练习2.计算: (1)﹣ (2 )+()0; (2)(20﹣6+4) ; (3)(+)(﹣)﹣(+3)2. 练习3.计算: (1)()2(); (2)( 2﹣3)2﹣( 2+3)2. 类型四 最简二次根式与同类二次根式 例4.在式子,,,中,最简二次根式的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 练习1.给出下列四道算式: (1)=﹣4;(2)=1;(3)=4;(4)=(a>b). 其中正确的算式是( ) A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(4) D.(2)(3) 练习2.已知a=,b=,用含a,b的代数式表示,这个代数式是( ) A.0.2a B.0.1ab2 C.0.1ab D.0.1a2b 练习3.已知二次根式与化成最简二次根式后,被开方数相同,则正整数a的值为 . 练习4.(1)最简二次根式|b﹣a|和是同类二次根式,则a+2b的值为 . (2)最简二次根式|a﹣b﹣1|和是同类二次根式,则a﹣b= . 类型五 复合二次根式的化简及有理化 例5.像……这样的根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简,如:;再如:.请用上述方法探索并解决下列问题: (1)化简:= ,= ; (2)若a+6=(m+n)2,且a,m,n为正整数,求a的值. 练习1.阅读下面的解答过程,然后作答: 有这样一类题目:将化简,若你能找到两个数 m和n,使m2+n2=a 且 mn=,则a+2 可变为m2+n2+2mn,即变成(m+n)2,从而使得化简. 例如:∵5+2=3+2+2=()2+()2+2=(+)2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简(1),(2). 练习2.在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如,这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:==,===﹣1. 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简:====﹣1. (1)请用不同的方法化简:; (2)比较大小:与. 练习3.我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”. 比如:﹣==. 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题. 例如:比较﹣和﹣的大小. 解:﹣=,﹣=. 因为+>+,所以﹣<﹣. 利用上面的方法,完成下述两题: (1)比较﹣和﹣的大小; (2)求y=﹣+3的最大值. 类型六 含二次根式的规律探究 例题6.阅读下面例题,然后按要求解决问题. 例如:求的值,我们可以用换元法来求解.设x=,两边平方,得x2=3,则x2=3x,因为x≠0,两边同除以x,得x=3. (1)求的值; (2)求的值. 练习1.若[x]表示不超过x的最大整数(如:[1.3]=1,[﹣2]=﹣3等),则[]+[]+[]+…+[]= . 练习2.观察下列各式及证明过程: ①;②;③. 验证:;. (1)按照上述等式及验证过程的基本思想,请写出两个类似的等式,并选择其中一个写出验证过程; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为自然数,且n≥1)表示的等式,并验证. 练习