2024年中考数学一轮复习专题讲义：勾股定理

2024年中考数学一轮复习专题讲义：勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。 二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有a2+b2=c2这种关系，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 四、羊头图案 （1） 边长规律： 正方形1的边长为a, 正方形2的边长为（）a , 正方形3的边长为（)2a.... 正方形n的边长为 )n-1 a （2） 面积规律： 正方形1的面积为S，正方形2的面积为 s， 正方形3的面积为 （）2 S.... 正方形n的面积为（）n-1S.. 五、最短路径问题 利用侧面展开图求最短路径： （1）由A点到C点最短路径： （2）由A点到B最短路径： （3）由B到A（A在圆柱内表面）最短路径： （A在圆柱内表面） （4）由A点到D最短路径： （5）由A到最短路径：b为圆柱底面周长，a为 （6） 爬楼梯 （7）由C-A-C最短路径： （8）由A点到C对短距离： 六、常见的勾股定理的证明： 赵爽弦图证法 c2=ab×4+(b-a)2 配套练习 一、单选题 1．已知点A的坐标为（1，－2），则点A到坐标原点的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 2．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 4．如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为（    ） A．3 B． C． D．5 5．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（    ） A．南偏西30° B．南偏东60° C．北偏西30°或南偏东30° D．南偏东60°或北偏西60° 6．如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（   ） A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m 7．如图，在中，，，，D是上一点，以为直角边作等腰，若，则的最小值为（   ）    A．8 B． C． D．6 8．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中长度为正整数有______条．      A．25 B．5 C．4 D．6 9．如图，△ABC和△DCE都是边长为8的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题 10．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，则此等腰三角形的面积为 ． 11．如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝9，S3＝25，当S2＝ 时∠ACB＝90°． 12．如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的 最短路径是 cm ． 13．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 14．如图，三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=CB=4，D是CB的中点，折叠三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF．则AF的长是 ． 三、解答题 15．求出下图中直角三角形未知边的长度；求x的值.    16．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端到旗杆底部的距离米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若，．求旗杆的长．    17．如图，在中，，是的中点，，点为垂足，，，求的长. 18．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，G为中点