2024年 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题真实情境中的圆问题

2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题真实情境中的圆问题 考情分析 年份 题号 题型 分值 情境 考查内容 设问形式 2022 24 解答题 10 水渠横断面 (1)锐角三角函数（仰俯角）； (2)垂径定理、锐角三角函数 (1)求角的大小及线段长； (2)图中画出线段，求最大水深 典例精讲 例 (2022河北定制卷)如图是一个水车的示意图，车身⊙O与水面分别交于点A，B，水车上均匀分布着若干水斗，P表示水车上的一个水斗，∠BPA＝45°，接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知水车的直径是6 m，∠BAP＝60°.当点P恰好抵达出水点，即在MN所在直线上时，解答下列问题： 例题图 (1)求证：∠MPB＝∠BAP； (2)求点P从出水点到水车最低点所经过的路程； (3)若水车位于水面以下部分的深度需等于水车直径的才能使水车的出水量达到最大，问：该水车需要再降低多少高度．(结果保留两位小数，取1.414) 方法总结 辅助线作法：如果有切线，连圆心和切点，构造垂直，看是否能将所给条件转化到一个三角形中，若不能则考虑延长切点与圆心的连线，构造直径解决。 解题方法： 1.证明角间数量关系 切线的性质（有切线），圆周角定理，两半径构成等腰三角形，两角互余的性质进行倒角. 2.求线段长 通常有以下几种方法： ①勾股定理/锐角三角函数: 条件：所给条件在或者转化到同一个直角三角形（也可作垂线构造）中，若已知角的度数，则考虑用锐角三角函数解题； 辅助线作法：若圆中不存在直角三角形，通常通过作直径（圆周角定理推论）、作垂线、垂径定理构造直角三角形 ②三角形相似、全等： 条件：所给条件位于两个三角形中，且能得到2组角对应相等，若能有1组边相等，则考虑全等三角形解题，否则，用相似三角形解题. 课堂练兵 练习 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90 cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π） 练习题图 课后小练 练习1 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你作出圆形截面图的圆心；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径． 练习1题图 练习2 (2022河北黑白卷)如图是蒸汽车轮机械装置模型，嘉淇在学习了其工作原理后，画出如图2的简单机械模型图示，滑块A在滑道MN上可左右滑动，且滑动过程中连杆AB和曲柄OB随之运动．已知AB＝10dm，OB＝4dm，且点B的运动轨迹是以点O为圆心、OB长为半径的圆，滑道MN所在直线与⊙O相切，过点N作NP⊥MN，NP恰好与⊙O相切于点P，连接OA. 练习2题图 (1)为实现连续完整的圆周运动，求滑块A所在滑道MN的最短长度； (2)当直线AB与⊙O相切时，求EQ的长度； (3)嘉淇在画机械模型示意图时，记录的数据不小心被墨水污染了，而后她令AB＝7dm，OB＝4dm，请帮助她判断这个简单模型是否可以做连续完整的圆周运动？请说明理由，并直接写出此时OA的取值范围． (参考数据：sin 68°≈，cos 68°≈，tan 68°≈) 答案 典例精讲 例 (1)证明：如解图①，连接OB， 则OB＝OP，∠OBP＝∠OPB， ∴∠OPB＝(180°－∠POB)， ∵∠POB＝2∠BAP， ∴∠OPB＝90°－∠BAP， ∵MP是⊙O的切线， ∴∠MPO＝∠MPB＋∠OPB＝90°，即∠OPB＝90°－∠MPB， ∴∠MPB＝∠BAP； 例题解图① (2)解：如解图②，连接OA，OB，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为D，交⊙O于点E， ∵∠BAP＝60°，∴∠POB＝120°， ∵∠BPA＝45°，∴∠BOA＝9