江苏省百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考数学试题

2024届高三开年摸底联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 命题“，”的否定为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A B. C. D. 8. 已知等差数列的前项和为，若，当时，有，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若经验回归方程中的，则变量与正相关 C. 若随机变量，且，则 D. 若事件与为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 在上有2个零点 C. 在处取得极小值 D. 对，， 11. 已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为__________． 13. 已知，若，则的最大值为______． 14. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点，与轴交于点，若，，则__________；向量与的夹角为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若直线与曲线相切，求的值． 16. 如图，在三棱台中，，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张奖卷只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖. （1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率； （2）假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 18. 已知椭圆右焦点为F，A为椭圆上一点，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点（点B、D不重合）． （1）设直线，的斜率分别为，，证明：； （2）点为直线上一点，记的斜率分别为，若，求点的坐标． 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由； （2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式； （3）若正项数列为“数列”，且，，证明：． 2024届高三开年摸底联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5