2024年中考数学复习专题：二次函数（讲义）

2024年中考数学复习专题：二次函数（讲义） 知识点讲解 1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2、二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 3、二次函数的图象是一条抛物线：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 4.二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 （1）当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； （2）当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 专题练习 一、选择题 1．二次函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限. 2．将二次函数的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（　　） A． B． C． D． 3．对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．时，随的增大而减小 D．，函数有最小值 4．如图，函数和是常数，且在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线与x轴的两个交点分别为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 6．已知点，，都在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 7．若二次函数 的图象如图，与x轴的一个交点为（1，0），则下列各式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（　　） A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m 二、填空题 9．函数的图象的顶点坐标为　 　． 10．已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是　 　． 11．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是　 　． 12．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系，则该矩形面积的最大值为　 　 m2. 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　. 三、解答题 14．如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 15．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由． 16． 如图，二次函数的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、． （1）求二次函数的