大题分项练(6) 函数与导数 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

大题分项练(6)　函数与导数 1.已知函数f(x)=。 (1)求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2π]上的最值。 解　(1)由f(x)=,得f'(x)==,所以f'(0)=2,又f(0)=-1,所以所求切线方程为y=2x-1,即2x-y-1=0。 (2)由(1)知,当x∈或x∈时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f'(x)单调递减,所以f(x)在区间[0,2π]上的极大值为f=,极小值为f=-,又f(0)=-1,f(2π)=-,所以f(x)max=f=,f(x)min=f(0)=-1,所以f(x)在区间[0,2π]上的最大值为,最小值为-1。 2.在①∀x∈[1,3],②∃x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题。 已知函数f(x)=x2+ax+4。 (1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-2,2]上的值域; (2)若　　　　,f(x)≥0,求实数a的取值范围。  注:如果选择两个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　(1)当a=2时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以f(x)在[-2,-1]上单调递减,在[-1,2]上单调递增,又f(2)=12,f(-2)=4,f(-1)=3,所以f(x)min=f(-1)=3,f(x)max=f(2)=12,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的值域为[3,12]。 (2)方案一:选条件①。 因为∀x∈[1,3],f(x)≥0恒成立,所以ax≥-x2-4,∀x∈[1,3]恒成立,只需a≥-,∀x∈[1,3]恒成立。因为=x+≥2=4(当且仅当x=2时等号成立),所以-的最大值为-4,所以a≥-4,所以实数a的取值范围为[-4,+∞)。 方案二:选条件②。 因为∃x∈[1,3],f(x)≥0,所以f(x)max≥0,x∈[1,3],因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,最大值只可能在区间端点处取得。所以f(1)≥0或f(3)≥0,即12+a+4≥0或32+3a+4≥0,解得a≥-5或a≥-,所以a≥-5。故实数a的取值范围为[-5,+∞)。 3.已知函数f(x)=ex-m+ln。 (1)设x=1是函数f(x)的极值点,求m的值并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明:f(x)>ln 3。 解　(1)f(x)=ex-m+ln,x>0,f'(x)=ex-m-,因为x=1是函数f(x)的极值点,所以f'(1)=e1-m-1=0,解得m=1,所以f'(x)=ex-1-。设g(x)=ex-1-,则g'(x)=ex-1+>0,f'(x)单调递增,故x=1是f'(x)的唯一零点,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减。当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增。 (2)证明:当m≤2,x∈(0,+∞)时,ex-m≥ex-2。所以欲证f(x)>ln 3,即证ex-m+ln>ln 3,只需证ex-2+ln>ln 3,即ex-2+ln 3-ln x>ln 3,即证ex-2-ln x>0。设φ(x)=ex-x-1(x>0),则φ'(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,所以φ(x)=ex-x-1>e0-1=0,即ex>x+1,则ex-m≥ex-2>x-1。令函数h(x)=x-1-ln x(x>0),则h'(x)=1-,当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以函数h(x)在x=1处取最小值,即h(x)≥h(1)=0,故f(x)>ln 3成立。 4.已知函数f(x)=ex+aln+1(a>0)。 (1)若a=e,求f(x)的最小值; (2)判断方程f(x)=1+2aln a的实根个数。 解　(1)当a=e时,f(x)=ex-eln x+e+1,定义域为(0,+∞),f'(x)=ex-,易知f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且f'(1)=0,所以x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)≥f(1)=2e+1,故f(x)的最小值为2e+1。 (2)方程f(x)=1+2aln a即ex-aln a=aln x,即-ln a=ln x,即ex-ln a+x-ln a=eln x+ln x,设g(x)=ex+x,则ex-ln a+x-ln a=eln x+ln x即g(x-ln a)=g(ln x),因为g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以x-ln a=ln x,即ln a=x-ln x。设h(x)=x-ln x,则h'(x)=1-=,所以x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调