大题分项练(5) 解析几何 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

大题分项练(5)　解析几何 1.如图,A,B,C是椭圆M:+=1(a>b>0)上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,BC过椭圆M的中心O,且满足AC⊥BC,BC=2AC。 (1)求椭圆M的离心率; (2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9,求椭圆M的方程。 解　(1)因为BC过椭圆M的中心O,所以|BC|=2|OC|=2|OB|。又AC⊥BC,|BC|=2|AC|,所以△OAC是以∠C为直角的等腰直角三角形,则A(a,0),C,所以+=1,整理得a2=3b2,所以c2=a2-b2=2b2,所以e===。 (2)由(1)可知A(a,0),B,|AB|=a,则△ABC的外接圆的圆心为AB的中点,半径为|AB|=a,所以△ABC的外接圆的方程为+=a2。令x=0,解得y=a或y=-,所以a-=9,解得a=6,所以b2=12,故椭圆M的方程为+=1。 2.已知双曲线C的焦点在坐标轴上,且过点P,其渐近线方程为y=±x。 (1)求双曲线C的标准方程; (2)双曲线C上是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由。 解　(1)由双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0),将P代入双曲线方程,可得λ=2,所以双曲线C的标准方程为x2-=1。 (2)假设双曲线C上存在被点B(1,1)平分的弦,记弦所在的直线为l。设B(1,1)是弦MN的中点,M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2。因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,即两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以直线l的斜率kMN==2,所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0。联立直线l与双曲线的方程,得消去y,得2x2-4x+3=0,Δ=16-4×2×3=-8<0,所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在,故不存在被点B(1,1)平分的弦。 3.已知O为坐标原点,抛物线y2=2px(p>0)与直线x=y+6交于A,B两点,且=12。 (1)求抛物线的方程; (2)过点(-2,0)的直线交抛物线于点P,Q,证明:抛物线上存在点M,使得kMP+kMQ为常数,并求此时点M的坐标及常数的值。 解　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y+6代入抛物线方程,整理得,y2-2py-12p=0,则y1+y2=2p,y1y2=-12p,由=12,得x1x2+y1y2=12,即+y1y2-12=0,即+(-12p)-12=0,解得p=2,故抛物线的方程为y2=4x。 (2)证明:设M(x0,y0),P(x'1,y'1),Q(x'2,y'2),则kMP+kMQ=+=+=+=,设直线PQ的方程为x=my-2(m≠0),代入y2=4x,整理得,y2-4my+8=0,故y'1+y'2=4m,y'1y'2=8,所以kMP+kMQ==8×,若kMP+kMQ为常数,则需=,解得y0=±2,则x0=2,kMP+kMQ=±,故M(2,2)时,常数为;M(2,-2)时,常数为-。 4.如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且经过点A(2p,m)(m>0),|AF|=5。 (1)求p和m的值; (2)点M,N在C上,且AM⊥AN。过点A作AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值。 解　(1)由抛物线定义知|AF|=xA+,即|AF|=2p+=5,则p=2,所以抛物线方程为y2=4x。将A(4,m)代入抛物线方程,则m2=4×4,解得m=4。 (2)证明:设直线MN的方程为x=ky+n,联立C:y2=4x,整理得y2-4ky-4n=0,且Δ=16k2+16n>0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4n,则x1+x2=k(y1+y2)+2n=4k2+2n,x1x2=k2y1y2+kn(y1+y2)+n2=n2,由(1)知:A(4,4),设M(x1,y1),N(x2,y2),所以=(x1-4,y1-4),=(x2-4,y2-4),又AM⊥AN,所以(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+y1y2-4(y1+y2)+32=n2-16k2-12n-16k+32=(n-4k-8)(n+4k-4)=0,当n=8+4k时,MN:x=k(y+4)+8过定点B(8,-4);当n=4-4k时,MN:x=k(y-4)+4过定点(4,4),即A,M,N共线,不合题意。所以直线MN过定点B(8,-4),又AD⊥MN,故D在以AB为直径的圆上,而AB的中点为Q(6,0),即|DQ|==2为定值,得证。 5.已知双曲线C:-=1(a>