大题分项练(3) 立体几何 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

大题分项练(3)　立体几何 1.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=2AC=4BC,点E在棱CC1上,且A1B⊥AE。 (1)求的值; (2)求直线AE与平面A1BC1所成角的正弦值。 解　(1)因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥BC,又AC⊥BC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,因为AE⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AE。连接A1C,因为A1B⊥AE,A1B∩BC=B,所以AE⊥平面A1BC,所以AE⊥A1C。易得∠AA1C=∠CAE,则△ACE∽△A1AC,所以==,所以EC=AC=AA1=CC1,所以=4。 (2)因为CA,CB,CC1两两垂直,所以以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为AA1=2AC=4BC,所以不妨设BC=1,则AC=2,AA1=4,所以A(2,0,0),E(0,0,1),A1(2,0,4), C1(0,0,4),B(0,1,0),所以=(-2,0,1),=(0,-1,4),=(-2,0,0)。设平面A1BC1的法向量为n=(a,b,c),则得则a=0,取c=1,得b=4,所以平面A1BC1的一个法向量为n=(0,4,1)。设直线AE与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ===。 2.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,PD的中点为F。 (1)求证:PB∥平面ACF; (2)若　　　　,求二面角F⁃AC⁃D的余弦值。  请从下面三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,并作答。 ①四棱锥P⁃ABCD的体积为,②直线FC与平面ABCD所成的角为,③BD=2。 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,连接OF,在菱形ABCD中,O为BD的中点,又PD的中点为F,所以PB∥OF。因为OF⊂平面ACF,PB⊄平面ACF,所以PB∥平面ACF。 (2)选①,设∠ABC≤∠BAD,VP⁃ABCD=PA×S▱ABCD=S▱ABCD=sin∠ABC=,所以sin∠ABC=,即∠ABC=。如图,以A为坐标原点,BC边上的中线所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),F(0,1,1),P(0,0,2),=(,1,0),=(0,1,1),=(0,0,2)。因为PA⊥平面ABCD,所以=(0,0,2)为平面ACD的一个法向量。设m=(x,y,z)为平面ACF的法向量,则令x=1,则y=-,z=,所以平面ACF的一个法向量为m=(1,-,)。所以cos<m,>===,由图可知二面角F⁃AC⁃D的平面角为锐角,所以二面角F⁃AC⁃D的余弦值为。 选②,取AD的中点E,连接EF,CE(图略),因为PD的中点为F,所以EF∥PA,EF=PA=1。因为PA⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD,所以∠ECF为FC与平面ABCD所成的角,即∠ECF=,所以CE=。由CD=2,DE=1,得∠ABC=∠ADC=。下面步骤同①。 选③,在△ABD中,因为BD=2,所以cos∠BAD==-,即∠BAD=,故∠ABC=。下面步骤同①。 3.(2023·泰州期中)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=PB=AB=2,平面PAB⊥平面ABCD,N是CD的中点。 (1)若点M为线段PD上一点,且PB∥平面AMN,求的值; (2)求二面角B⁃PA⁃C的正弦值; (3)求点N到平面PAC的距离。 解　(1)如图,连接BD交AN于点Q,连接MQ。因为PB∥平面AMN,PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面AMN=MQ,所以MQ∥PB,所以====2。 (2)解法一:(几何法)因为平面PAB⊥平面ABCD,CB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAB=AB,又因为CB⊥AB,所以CB⊥平面PAB,过点B作BE⊥PA于点E,连接CE,所以∠BEC即为所求二面角B⁃PA⁃C的平面角,且BC=AB=2,BE=,CE=,所以sin∠BEC==。故二面角B⁃PA⁃C的正弦值为。 解法二:(向量法)取AB的中点O,连接OP,ON,由题意得PO⊥平面ABCD,分别以OB,ON,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),P(0,0,),A(-1,0,0),C(1,2,0),=(-1,0,-),=(2,2,0)。设平面PAC的法向量为n1=(x,y,z),平面PAB的一个法向量为n2=(0,1,0),则⇒不妨设x=,则n1=(,-,-1),设二面角B⁃PA⁃C的平面角为θ,则|cos θ|==。所以sin θ==。故二面角B⁃P