大题分项练(2) 数列 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

大题分项练(2)　数列 1.在①b4=a3+a5;②b4+b6=3a3+3a5;③a2+a3=b4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答。 已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是公比大于0的等比数列,b1=1,b3=b2+2,b5=a4+2a6,且 ,设cn=,是否存在k,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。  注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q>0),因为{bn}是公比大于0的等比数列,且b1=1,b3=b2+2,所以q2=q+2,解得q=2,所以bn=2n-1。若存在k,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn,则cn存在最小值。 若选①,解答过程如下。 由b5=a4+2a6,b4=a3+a5可得解得所以Sn=n2+n,cn===。因为n∈N*,所以n2+n≥2,所以cn不存在最小值,即不存在满足题意的k。 若选②,解答过程如下。 由b5=a4+2a6,b4+b6=3a3+3a5可得解得所以Sn=-n2+n,cn==。因为当n≤20时,cn>0,当n≥21时,cn<0,所以cn的最小值为c21=-。即存在k=21,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn。 若选③,解答过程如下。 由b5=a4+2a6,a2+a3=b4可得解得所以Sn=,cn==。因为当n∈N*时,2n2+26n≥28,所以cn不存在最小值,即不存在满足题意的k。 2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)在①bn=,②bn=an·2n,③bn=(-1)n·Sn这三个条件中任选一个。补充在下面的问题中,并求解该问题。若　　　　,求数列{bn}的前n项和Tn。  注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　(1)因为Sn=n2,所以Sn-1=(n-1)2(n≥2),所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以an=2n-1。 (2)若选①。因为bn===-,所以Tn=-+-+…+-=1-。 若选②。因为bn=an·2n=(2n-1)·2n,所以Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,则2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,所以两式相减可得-Tn=2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2+-(2n-1)·2n+1=-6-(2n-3)·2n+1,所以Tn=6+(2n-3)·2n+1。 若选③。因为bn=(-1)n·Sn=(-1)n·n2, 所以当n为偶数时,Tn=-12+22-32+42-…-(n-1)2+n2=22-12+42-32+…+n2-(n-1)2=3+7+…+(2n-1)==,当n为奇数且n≥3时,Tn=Tn-1-n2=-n2=-,当n=1时,T1=-1满足上式。综上,Tn=(-1)n·。 3.已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,nSn+1=(n+1)Sn+(n∈N*)。 (1)证明数列{an}是等差数列,并求出{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn=,证明:b1+b2+…+bn<。 证明　(1)证法一:因为nSn+1=(n+1)Sn+　①,所以(n+1)Sn+2=(n+2)Sn+1+　②,由②-①得,(n+1)Sn+2-nSn+1=(n+2)Sn+1-(n+1)Sn+(n+1),即(n+1)Sn+2=(2n+2)Sn+1-(n+1)Sn+(n+1),又n+1>0,则Sn+2=2Sn+1-Sn+1,即an+2=an+1+1。在nSn+1=(n+1)Sn+中令n=1得,a1+a2=2a1+1,即a2=a1+1。综上,对任意n∈N*,都有an+1-an=1,故数列{an}是以1为公差的等差数列。又a1=1,则an=n。 证法二:因为nSn+1=(n+1)Sn+,所以=+,又S1=a1=1,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,因此=,即Sn=。当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n,又a1=1也符合上式,故an=n(n∈N*),故对任意n∈N*,都有an+1-an=1,即数列{an}是以1为公差的等差数列。 (2)由(1)得Sn=,所以bn====-,b1+b2+…+bn=++…+=-<。 4.(2023·南京联考)已知等比数列{an}的公比q>1,其前n项和为Sn,满足:S3=13,=3a6。 (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=求数列{bn}的前2n项和T2n。 解　(1)解法一:因为{an}是公比q>1的等比数列,所以由得即两式相除得=,整理得3q2-