大题分项练(1) 三角函数与解三角形 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

大题分项练 大题分项练(1)　三角函数与解三角形 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin B+bcos A=c。 (1)求B; (2)设a=c,b=2,求c。 解　(1)由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=sin C,因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Asin B=sin Acos B,因为sin A≠0,cos B≠0,所以tan B=1,又0<B<π,所以B=。 (2)由余弦定理b2=c2+a2-2accos B,结合a=c,b=2,可得4=c2+2c2-2c2×,即c2=4,解得c=2。 2.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+sin2ωx,其中0<ω<6,且f=。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若θ∈,且f(θ)=,求sin 2θ的值。 解　(1)由题意得f(x)=sin 2ωx+=sin+。因为f=sin+=,所以sin=0。所以-=kπ,k∈Z,所以ω=6k+1,k∈Z。又0<ω<6,所以k=0,ω=1。所以f(x)=sin+。由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z。所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z。 (2)由(1)有f(θ)=sin+=,得sin=。因为θ∈,所以2θ-∈。所以cos=。所以sin 2θ=sin=sin+cos=×+×=。 3.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点。 (1)若θ=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值; (2)若θ∈,向量m=,n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m·n的最小值及对应的θ值。 解　(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C,所以+=,所以|+|2=+(0≤t≤1),所以当t=时,|+|最小,最小值为。 (2)由题意得C(cos θ,sin θ),m==(cos θ+1,sin θ),则m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-sin,因为θ∈,所以≤2θ+,所以当2θ+=,即θ=时,sin取得最大值1,即m·n取得最小值1-。所以m·n的最小值为1-,此时θ=。 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。∠ACB=,AB边上的高为。 (1)若S△ABC=2,求△ABC的周长; (2)求+的最大值。 解　(1)依题意,S△ABC=absin∠ACB=c·=2,可得c=4,因为∠ACB=,所以ab=8。由余弦定理得a2+b2-ab=c2。因此(a+b)2=c2+3ab=40,即a+b=2。故△ABC的周长为2+4。 (2)由(1)及正弦定理可得,+======,其中θ为锐角,且sin θ=<,所以0<θ<,由题意可知0<A<,所以0<A+θ<π,因此,当A+θ=时,+取得最大值。 5.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距5(3+)海里。现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/小时。 (1)求B点到D点的距离BD; (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间。 解　(1)由题意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得=,所以DB=====10(海里)。 (2)在△DBC中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20海里,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10×20×=900,所以CD=30海里,则需要的时间t==1(小时)。因此救援船到达D点需要1小时。 6.在①(b-acos C)=csin A;②b·sin=asin B;③asin C=csin,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上并作答。 问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知　　　　,b=3,△ABC的面积为。  (1)求角A的大小和a的值; (2)如图,D为△ABC外一点,四边形ABCD为平面四边形,且AC⊥CD,CD=,求对角线BD的长。 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　(1)选择条件①:由(b-acos C)=csin A及正弦定理,得(sin B-sin Acos C)=sin Csin A,即[si