小题分项练(8) 圆锥曲线 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

小题分项练(8)　圆锥曲线 一、单项选择题 1.已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为(　C　) A. B. C.或 D.或 解析　因为实数4,m,9构成一个等比数列,所以可得m2=36,解得m=6或m=-6。当m=6时,圆锥曲线为椭圆,其方程为+y2=1,所以a2=6,b2=1,则c2=a2-b2=5,所以离心率e===。当m=-6时,圆锥曲线是双曲线,其方程为y2-=1,所以a2=1,b2=6,c2=a2+b2=7,则e==。故选C。 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+3=0平行,则该双曲线的离心率是(　C　) A. B. C. D.2 解析　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,直线2x-y+3=0的斜率为2,所以=2,所以=1+=5,所以该双曲线的离心率e=。故选C。 3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上一点,已知点P及两焦点F1,F2组成的三角形的面积为4,则=(　C　) A. B. C. D.- 解析　椭圆+=1中a=5,b=3,所以c==4,|F1F2|=8。设P(x0,y0),=|F1F2|×|x0|=4|x0|=4,|x0|=1,x0=±1,所以+=1,y0=±。由对称性,不妨取P,F1(0,4),F2(0,-4),==1+-16=。故选C。 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且|FA|=4,则|AB|=(　A　) A. B. C. D.2 解析　解法一:由题意得,F(1,0),直线AB不与坐标轴平行,设其方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则由得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,x1x2==1,由|FA|=x1+1=4,得x1=3,所以x2=,故|FB|=x2+1=,所以|AB|=|FA|+|FB|=4+=。故选A。 解法二:利用抛物线性质,+=,则+=1,得|FB|=,从而|AB|=4+=。故选A。 5.(2023·洛阳联考)已知双曲线C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点A在C上,且其关于原点O的对称点为B,|AB|=|F1F2|,四边形AF1BF2的面积为6,则双曲线C的方程为(　B　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.x2-y2=1 D.-x2=1 解析　由原点O分别为AB,F1F2的中点,得四边形AF1BF2为平行四边形,又|AB|=|F1F2|,所以四边形AF1BF2为矩形。由四边形AF1BF2的面积为6得,|AF1|·|AF2|=6,结合|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=16与||AF1|-|AF2||=2a,得4a2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=16-12=4,所以a2=1,b2=c2-a2=3,故双曲线C的方程为x2-=1。故选B。 6.如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点。根据椭圆的光学性质解决问题:已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C交于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,若e=,cos∠F1PF2=-,则椭圆C的标准方程为(　C　) A.+=1或+=1 B.+=1或+=1 C.+=1或+y2=1 D.+=1或+=1 解析　|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,e==,cos∠F1PF2==-,解得或所以所求椭圆的标准方程为+=1或+y2=1。故选C。 二、多项选择题 7.若方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中正确的是(　BC　) A.若C为椭圆,则1<t<3 B.若C为双曲线,则t>3或t<1 C.曲线C可能是圆 D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1<t<2 解析　若C为椭圆,则所以1<t<3且t≠2,故A错误;若C为双曲线,则(3-t)(t-1)<0,所以t>3或t<1,故B正确;若C为圆,则3-t=t-1,所以t=2,故C正确;若C为椭圆,且长轴在y轴上,则所以2<t<3,故D错误。 8.(2023·长沙联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l与抛物线C交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且OA⊥OB,若直线l恒过点(4,0),则下列说法正确的是(　ABD　) A.抛物线方程为y2=4x B.x1x2=16,y1y2=-16 C.△OAB的面积的最小值为32 D.弦AB中点的轨迹为一条抛物线 解析　利用抛物线性质,若OA⊥OB,则直线AB经过定点(2p,0),因而由已知得p=2,抛物线方程为y2=4x。设直线l:x=ky+4,联立得y2-4ky-16=0