小题分项练(5) 立体几何 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

小题分项练(5)　立体几何 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列各图都是正方体的表面展开图,将其还原成正方体后,所得正方体完全一致(数码相对位置相同)的是(　B　) A.(1)和(4) B.(1)和(3) C.(2)和(3) D.(2)和(4) 解析　(1)还原后,①④相对,②⑤相对,③⑥相对;(2)还原后,①⑥相对,②⑤相对,③④相对;(3)还原后,①④相对,②⑤相对,③⑥相对;(4)还原后,①⑤相对,②④相对,③⑥相对。综上,可得还原成正方体后,所得正方体完全一致的是(1)和(3)。故选B。 2.正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,则直线DA1与直线AC所成角的余弦值为(　C　) A.- B. C. D. 解析　如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,连接CB1,AB1,易得CB1∥DA1,所以∠ACB1为直线DA1与直线AC所成的角或其补角。易知△ACB1是正三角形,所以cos∠ACB1=cos=。故选C。 3.(2023·北京昌平二中期中)设m,n为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,下列说法错误的是(　C　) A.若m⊥α且n⊥α,则m∥n B.若m∥α且m⊥β,则α⊥β C.若m∥α且n∥α,则m∥n D.若α∥β且m⊥α,则m⊥β 解析　对于A,当m⊥α且n⊥α时,m∥n,所以A正确。对于B,当m∥α且m⊥β时,如图,过m作平面γ,交α于直线n,则m∥n,因为m⊥β,所以n⊥β,因为n⊂α,所以α⊥β,所以B正确。对于C,当m∥α且n∥α时,m,n可能平行,可能异面,可能相交,故C错误。对于D,当α∥β且m⊥α时,则m⊥β,所以D正确,故选C。 4.(2023·广东联考)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)。现有一个如图所示的“曲池”,其高为3,AA1⊥底面,底面扇环所对的圆心角为,长度为长度的3倍,且线段AB=CD=2,则该“曲池”的体积为(　D　) A. B.5π C. D.6π 解析　设所在圆的半径为R,所在圆的半径为r,根据弧长公式可知=αR,=αr,又长度为长度的3倍,所以R=3r,因为AB=CD=R-r=2,所以所以“曲池”的体积V=(πR2h-πr2h)=6π。故选D。 5.在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a>b>c,分别以BC,AC,AB所在直线为轴,将△ABC旋转一周,形成三个几何体,其表面积和体积分别记为S1,S2,S3和V1,V2,V3,则它们的关系为(　B　) A.S1>S2>S3,V1>V2>V3 B.S1<S2<S3,V1<V2<V3 C.S1>S2>S3,V1=V2=V3 D.S1<S2<S3,V1=V2=V3 解析　在Rt△ABC中,BC为斜边。将△ABC绕边BC所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥,如图①,其底面圆半径是,母线长分别为b和c,高之和为a,其表面积S1=π(b+c),体积V1=πa;将△ABC绕边AC所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥,如图②,其底面圆半径是c,母线长为a,高为b,其表面积S2=πac+πc2,体积V2=πc2b;将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥,如图③,其底面圆半径是b,母线长为a,高为c,其表面积S3=πab+πb2,体积V3=πb2c。因为a>b>c,所以0<<1,所以b(a+b)>c(a+c)>c(b+c)>·c(b+c),b2c>bc2>·bc2=a,所以S1<S2<S3,V1<V2<V3。故选B。 6.在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,A1A=1,A1C=2,∠BAC=,E,F为线段A1C的两个三等分点,点D在线段EF上(包括端点)运动,则二面角D⁃AB⁃C的正弦值的取值范围为(　C　) A. B. C. D. 解析　由题意知A1A⊥底面ABC,A1A=1,A1C=2,所以AC==,∠A1CA=。过D作DM⊥AC交AC于M,则DM∥A1A,即DM⊥底面ABC,过M作MN⊥AB交AB于N,连接DN(图略),则DN⊥AB,∠DNM即二面角D⁃AB⁃C的平面角。不妨设DC=2a,在Rt△DCM中,∠DCM=,所以DM=a,CM=a,则AM=-a,MN=AM=(-a)。在Rt△DMN中,DN==,则sin∠DNM====。易知f(a)=3+4在上的值域为,所以sin∠DNM∈,故选C。 二、多项选择题 7.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,则(　ABC　) A.“羡除”有且仅有两个面为三角形 B.“羡除”一定不是台体 C.不存在有两个面为