小题分项练(4) 数列 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

小题分项练(4)　数列 一、单项选择题 1.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1,a2=b2=2,a4=8,则{bn}的公比为(　B　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析　设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则a4=8=a2+2d=2+2d,得d=3,则a2=b2=2=a1+3,所以a1=b1=-1,故q==-2。故选B。 2.已知{an}为等比数列,Sn为其前n项和,若S2=3a1,=a3,则S4=(　C　) A.7 B.8 C.15 D.31 解析　设等比数列{an}的公比为q,则S2=a1+a2=3a1,则a2=2a1,所以q==2。因为=a3,即(2a1)2=4a1,又a1≠0,解得a1=1,因此S4===15。故选C。 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,Sn+1=Sn+an+,则S20=(　C　) A.10 B.20 C.100 D.400 解析　由Sn+1=Sn+an+,得Sn+1-Sn-an=,即an+1-an=,所以数列 {an}是以为首项、为公差的等差数列,所以S20=20×+×=100。故选C。 4.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,则S7=(　B　) A.63 B.127 C.128 D.256 解析　解法一:在Sn+1=2Sn+1中,令n=1,得S2=3,所以a2=2。由Sn+1=2Sn+1得Sn+2=2Sn+1+1,两式相减得an+2=2an+1,即=2。又a1=1,=2,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以S7==127。故选B。 解法二:因为Sn+1=2Sn+1,所以Sn+1+1=2(Sn+1),即{Sn+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn+1=2×2n-1=2n,即Sn=2n-1。所以S7=27-1=127。 5.在等比数列{an}中,已知a1>0,则“a2>a3”是“a3>a6”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a1>0,所以若a2>a3,则a1q>a1q2,即q2-q<0,解得0<q<1;若a3>a6,则a1q2>a1q5,即q5-q2<0,q2(q-1)(q2+q+1)<0,解得q<1。所以“a2>a3”是“a3>a6”的充分不必要条件,故选A。 6.已知等差数列{an}的公差不为0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为(　C　) A.4 B.6 C. D.9 解析　因为a1,a3,a13成等比数列,a1=1,公差d≠0,所以=a1a13,即(1+2d)2=1+12d,得d=2,所以an=2n-1,Sn==n2,所以==n+,因为函数f(x)=x+在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,又n∈N*,当n=2时,n+=6,当n=3时,n+=<6,所以的最小值为。故选C。 二、多项选择题 7.已知数列{an}的通项公式为an=则(　BC　) A.a6=19 B.a7>a6 C.S5=22 D.S6>S8 解析　由题可得,a1=4,a3=10,a5=16,a7=22,a2=-2,a4=-6,a6=-10,a8=-14,故A错误;a7>a6,故B正确;S5=22,故C正确;S6=12,S8=20,S6<S8,故D错误。 8.(2023·长沙模拟)定义Hn=为数列{an}的“优值”。已知某数列{an}的“优值”Hn=2n,前n项和为Sn,则(　AC　) A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为递减数列 C.= D.S2,S4,S6成等差数列 解析　由Hn==2n,得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n　①。所以当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1　②。①-②得当n≥2时,2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1,即当n≥2时,an=n+1,当n=1时,由①知a1=2,满足an=n+1,所以an=n+1,数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,故A正确,B错误。又Sn=,所以=,故C正确。S2=5,S4=14,S6=27,故D错误。 三、填空题 9.在等差数列{an}中,前m项(m为奇数)的和为70,其中偶数项之和为30,且a1-am=12,则{an}的通项公式为an= -2n+18 。  解析　设等差数列{an}的公差为d。由题意得S奇=a1+a3+…+am===70-30=40,S偶=a2+a4+…+am-1===30,所以==,解得m=7。则a4==10。又易得a1-a7=12,所以解得所以an=16-2(n-1)=-2n+1